• Fisica
  • Esercizio meccanica razionale su vettori

    closed post best answer
vimi
vimi - Ominide - 12 Punti
Salva
Salve non riesco ad arrivare alla soluzione di questo esercizio...
Ricavare il centro del sistema di vettori applicati parallelo, S={(P1,v1) (P2,v2) (P3,v3)}
dove : P1=(-1,0,0) P2=(1,2,1) P3=(-2,2,0)
e v1=(-6,-3,-2) v2=( Sqrt 2,1/Sqrt 2,Sqrt2/3 ) v3=(2,1,2/3).

Suppongo di dover usare la formula : f(C-O)= sommatoria( fi(P-O))
dove f=f1+f2+f3 e Vi=fi e
e=versore
Vorrei sapere come procedere ed arrivare alla soluzione. Grazie a chi vorrà aiutarmi. :D
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
Salva
Sì, dovresti usare quella formula. Vediamo di scrivere tutto meglio: il sistema è

[math]S=\{(P_1,v_1),\ (P_2,v_2),\ (P_3,v_3)\}[/math]

dove

[math]P_1(-1,0,0),\ P_2(1,2,1),\ P_3(-2,2,0)\\ v_1=(-6,-3,-2),\ v_2=(\sqrt{2},1/\sqrt{2},\sqrt{2}/3),\ v_3=(2,1,2/3)[/math]

Per determinare il versore unico per i tre vettori, calcoliamo il loro modulo:

[math]|v_1|=\sqrt{36+9+4}=\sqrt{49}=7,\\ |v_2|=\sqrt{2+1/2+2/9}=\sqrt{\frac{36+9+4}{18}}=\frac{7}{3\sqrt{2}},\\ |v_3|=\sqrt{4+1+4/9}=\sqrt{\frac{36+9+4}{9}}=\frac{7}{3}[/math]

da cui

[math]e_1=\frac{v_1}{|v_1|}=(-6/7,-3/7,-2/7)\quad e_2=e_3=(6/7,3/7,2/7),[/math]

e pertanto, posto
[math]e=\left(\frac{6}{7},\frac{3}{7},\frac{2}{7}\right)[/math]
si ha
[math]v_1=-7e,\qquad v_2=\frac{7}{3\sqrt{2}} e,\qquad v_3=\frac{7}{3} e[/math]

Calcoliamo la risultante: si ha

[math]r=\sum_{i=1}^3 v_i=\sum_{i=1}^3 f_i e=\left(\sum_{i=1}^3 f_i\right) e=\left(-7+\frac{7}{3\sqrt{2}}+\frac{7}{3}\right)e=\\ =\frac{-21\sqrt{2}+7+7\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}\ e=\frac{7-14\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}\ e[/math]

Per il calcolo del centro, usiamo come polo il punto
[math]O(0,0,0)[/math]
, in quanto il centro non dipende dalla scelta del polo. Abbiamo allora la seguente condizione: detto
[math]C(x,y,z)[/math]

[math]\frac{7-14\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}(x,y,z)=-7(-1,0,0)+\frac{7}{3\sqrt{2}}(1,2,1)+\frac{7}{3}(-2,2,0)[/math]

Eguagliando componente per componente si ha

[math]\frac{7-14\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}\ x=7+\frac{7}{3\sqrt{2}}-\frac{14}{3}=\frac{21\sqrt{2}+7-14\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\frac{7(1+\sqrt{2})}{3\sqrt{2}}\\ \frac{7-14\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}\ y=\frac{7}{3\sqrt{2}}+\frac{14}{3}=\frac{7(1+2\sqrt{2})}{3\sqrt{2}}\\ \frac{7-14\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}\ z=\frac{7}{3\sqrt{2}}[/math]

da cui, semplificando e razionalizzando

[math]x=\frac{7(1+\sqrt{2})}{7(1-2\sqrt{2})}=\frac{(1+\sqrt{2})(1+2\sqrt{2})}{(1-2\sqrt{2})(1+2\sqrt{2})}=-\frac{5+3\sqrt{2}}{3}\\ y=\frac{7(1+2\sqrt{2})}{7(1-2\sqrt{2})}=\frac{(1+2\sqrt{2})(1+2\sqrt{2})}{(1-2\sqrt{2})(1+2\sqrt{2})}=-\frac{9+4\sqrt{2}}{3}\\ z=\frac{7}{7(1-2\sqrt{2})}=\frac{(1+2\sqrt{2}}{(1-2\sqrt{2})(1+2\sqrt{2})}=-\frac{1+2\sqrt{2}}{3}[/math]
Questo topic è bloccato, non sono ammesse altre risposte.
Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa
In evidenza
Classifica Mensile
Vincitori di novembre
Vincitori di novembre

Come partecipare? | Classifica Community

Community Live

Partecipa alla Community e scala la classifica

Vai al Forum | Invia appunti | Vai alla classifica

ciampax

ciampax Tutor 29109 Punti

VIP
Registrati via email