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  • Esercizio: calcolare andamento campo magnetico di un conduttore cilindrico cavo

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ale88
ale88 - Erectus - 146 Punti
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Ciao a tutti! ho grossi dubbi su questo esercizio...ho provato a risolverlo ma con scarsi risultati, qualcuno riuscirebbe a darmi una dritta?

Testo esercizio : UN conduttore cilindrico cavo di raggio interno R1 e raggio esterno R2, è percorso da una corrente I distribuita uniformemente sulla sua sezione. Calcolare l'andamento del campo magnetico per 0 < r <
[math]+ \infty [/math]

cioè io ho provato a risolverlo così...
1) per 0 < r < R1

trovo la mia I concatenata

Iconc = I0 *
[math] \frac{\pi r^2 }{\pi R1^2} [/math]

poi
[math] \oint B dl = \mu 0 * Iconc [/math]
e da qui ricavo il mio B(r)
2) r minore di R1

[math] \oint\bar{B} d\bar{l} = \oint B dl = 0 [/math]

3) r compreso tra R1 e R2

trovo la mia I concatenata

Iconc = I0 *
[math] \frac{\pi r^2 - \pi R1^2}{\pi R2^2 - \pi R1^2} [/math]

poi
[math] \oint B dl = \mu 0 * Iconc [/math]
e da qui ricavo il mio B(r)

4) r> R2 ? ma poi per l'infinito?
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Bada bene che, per la simmetria cilindrica, le linee di forza del campo magnetico
sono delle circonferenze concentriche al conduttore, e
[math]\vec{B}[/math]
è tangente ad esse.
Quindi applichiamo il Teorema di Ampère su una circonferenza di raggio
[math]r\\[/math]
:

1) per
[math]r < R_1[/math]
(nel cavo del conduttore):
[math]\oint\vec{B}\cdot d\vec{l}=\oint B\,dl = 0[/math]
,
[math]\Rightarrow \; B = 0\\[/math]
perché la corrente concatenata è zero;

2) per
[math]R_1 < r < R_2[/math]
(all'interno del conduttore): la corrente concatenata
si ricava moltiplicando la densità di corrente (rapporto fra la corrente
[math]I_0[/math]
e la
sezione del conduttore) per la superficie del conduttore compresa nel cerchio
di raggio
[math]r[/math]
, cioè
[math]I_{conc}=I_0 \frac{\pi r^2-\pi R_1^2}{\pi R_2^2-\pi R_1^2}=I_0 \frac{r^2-R_1^2}{R_2^2-R_1^2}[/math]
; quindi si ha
[math]\oint B\,dl =\mu_0\,I_{conc} \; \Rightarrow \; 2\pi r B(r)=\mu_0 I_0\frac{r^2-R_1^2}{R_2^2-R_1^2}[/math]
e in definitiva segue
[math]B(r)=\frac{\mu_0 I_0}{2\pi r}\frac{r^2-R_1^2}{R_2^2-R_1^2}\\[/math]
;

3. per
[math]r > R_2[/math]
(all'esterno al conduttore): la corrente concatenata è
[math]I_0[/math]
,
quindi:
[math]\oint B\,dl =\mu_0\,I_{conc} \; \Rightarrow \; 2\pi r B(r)=\mu_0 I_0 \; \Rightarrow \; B(r)=\frac{\mu_0 I_0}{2\pi r}\\[/math]
.

Tutto qui :)
ale88
ale88 - Erectus - 146 Punti
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Ah ok! a questo punto grazie mille ancora una volta per la risposta! grazie dell'aiuto! :) :)
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