adry105
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Problema
Un ragazzo lancia una palla di massa m=100 g contro una parete verticale distante 4.0 m.
La palla si trova a] momento del lancio a 2.0 m da terra e ha una velocità di modulo pari a 14 m/s e direzione che forma un angolo di 45gradi rispetto al piano onzzontale. La palla urta in modo completamente elastico la parete. Calcolare: Ia coordinata del punto ed ii ternpo in cui la palla toccherà la parete; b) la coordinata dei punto ed il tempo in cui Ia palla toccherà
il pavimento. Assumendo inolire che I'urto con ia parete duri 1 ms, calcolare Ia forza media esercitata dalla parete sulla palla.

Il mio problema è per il punto b). L'urto è elestico quindi si conserva sia la quantità di moto che l'energia cinetica. Però se metto a sistema la conservazione della quantità di moto lungo x, lungo y, e la conservazione dell'energia in teoria trovo due angoli, uno uguale a quello di prima e uno di 25gradi :mhh ma non so se è corretto?! helps :P
the.track
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il problema diventa facile se ragioni su ciò che accade al di là dell'aspetto matematico della situazione.

Allora considero già il punto in cui la palla tocca il muro e poi se ne va da qualche parte da determinare. Quando tocca il muro c'è conservazione della quantità di moto? No! Questo perché?
Definizione: si conserva la quantità di moto quando NON ci sono forze esterne al sistema, non bilanciate.
Nel nostro caso (considero l'attimo dell'urto, quello che interessa a noi):
il sistema è dato dalla pallina e basta. (In quanto se considerassimo il muro nel sistema ciò non funzionerebbe più in quanto non conosciamo la velocità o la massa del muro stesso).
Ergo non si conserva la quantità di moto.
Però noi sappiamo anche che la quantità di moto è un vettore dato da:

[math]\vec{p}=m\cdot \vec{v}[/math]

Pertanto possiamo scomporre la quantità di moto lungo x e lungo y.

Adesso riesaminiamo la situazione.

Lungo y: Ci sono forze esterne al sistema? No, allora possiamo applicare, se ci dovesse servire la conservazione della quantità di moto lungo y.
Lungo x: Ci sono forze esterne al sistema? Si, (una forza impulsiva data dalla reazione vincolare del muro sulla pallina), quindi non possiamo applicare la conservazione della quantità di moto lungo x.

Quanto si conserva l'energia? Quando non ci sono forze dissipative.
Nel nostro caso ci sono forze dissipative? No per definizione, ergo possiamo applicare la conservazione dell'energia.

Ma allora dopo queste semplici considerazioni cosa possiamo dire?
Lungo y la velocità resta costante in quanto non ci sono forse (c'è la forza peso, ma data la natura della forza vincolare (impulsiva) possiamo solo in quel momento trascurarla, perciò ipotizziamo che appena prima e appena dopo l'urto la velocità lungo y sia uguale).

Dalla conservazione dell'energia cosa possiamo dire? Che la pallina deve per forza di cose ritornare indietro (direzione -x) con la stessa velocità.

E questo in pratica cosa significa?
Significa che la pallina tocca il muro con un certo angolo, rimbalza, e assume una velocità in modulo uguale, e in direzione simmetrica rispetto all'asse passante per il punto di contatto e ortogonale al muro.

Da qui credo tu possa facilmente proseguire. Ricordati le definizioni, quando arrivi ad affrontare i momenti, ti servirà avere molta chiarezza quando e come si conserva cosa, altrimenti non ne dai fuori.

Se hai dubbi chiedi. ;)
adry105
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Mhhh si pressapoco è chiaro :D cioè scusa non si potrebbe considerare sempre il sistema pallina-muro, tenedo conto che la velocità del muro prima e dopo è nulla (cioè il muro rimane fermo, non si muove :D). Io avevo considerato che si conservasse la quantità di moto dal fatto che mi dicesse che l'urto è elastico, per questo. :) Però me lo dice e poi io in teoria, con il ragionamento che hai fatto tu, avrei dovuto dedurre che la quantità di moto si conservasse solo sull'asse y?.. >> Il fatto che poi sull'asse y si conserva la quantità di moto perchè la forza peso si può trascurare, mentre sull'asse x no perchè c'è una forza impulsiva va bene =D Infatti dalla mia risoluzione considerando la conservazione dell'energia e mettendola a sistema con la conservazione della quantità di moto sull'asse y mi viene un angolo minore (25gradi), invece mettendola con la conservazione della quantità di moto sull'asse x mi viene lo stesso angolo di prima (45gradi), e questo lo avevo scartato infatti! (cioè senza una spiegazione avevo tagliato la conservazione della quantità di moto sull'asse x =P).

Aggiunto 1 minuti più tardi:

Ps già fatti i momenti delle forze e momento angolare :D anzi ad aprile ho la prova in itinere =P
the.track
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Partiamo da una situazione più facile da studiare.

Un sistema costituito da due palline di massa uguale. Si scontrano il un certo punto x_0, e supponiamo che queste abbiano velocità (costanti nel tempo) parallele esclusivamente all'asse x. Siamo in assenza di forze gravitazionali varie.

Allora prendiamo in esame la situazione.

La pallina 1 viaggia verso destra con velocità
[math]\vec{v_1}[/math]
ed ha massa
[math]m[/math]
. La pallina 2 viaggia verso sinistra con velocità
[math]\vec{v_2}[/math]
ed ha massa
[math]m[/math]
anche lei per ipotesi.
Solita domanda. Ci sono forze esterne? No. Allora si conserva la quantità di moto.
Interessante a questo punto è studiare il moto e la quantità di moto del centro di massa del sistema.

Se non ci sono forze esterne il centro di massa ha velocità costante.

(Dimmi se ti servono i teoremi per dimostrare queste cose che allora te li scrivo in modo preciso e matematicamente corretto)

Allora questo risultato in grassetto cosa può servire? Se si conserva la quantità di moto il centro di massa deve avere velocità costante (anche nulla). Nel nostro caso cosa abbiamo? Un muro che sta fermo! e una pallina che cambia direzione e verso della sua velocità; questo implica per forza una variazione (seppur misera) della quantità di moto del sistema muro-pallina dato che il muro sta fermo.
Come dicevi te prima l'urto è elastico e quindi si conserva la quantità di moto. Verissimo. Qual è il problema? Il problema sta nel vedere di quanto varia la quantità di moto del muro. Dalla relazione:

[math]\vec{p_{tot}}=\vec{p_1}+\vec{p_2}[/math]

se
[math]\vec{p_{tot}}[/math]
è costante per ipotesi, avremo che le singole quantità di moto relative ai due corpi devono cambiare. Ma siccome la loro massa resta sempre la stessa, l'unico modo affinché si conservi la quantità di moto è che vari la velocità. Ma la velocità del muro per ipotesi è sempre pari a zero, il che è un assurdo. Pertanto da come sono messe le ipotesi del problema non possiamo dire che si conservi la quantità di moto (lungo x). In realtà come hai visto ti serve solo la conservazione dell'energia.
Spero di essere stato abbastanza chiaro. Altrimenti chiedi, che risolvo il problema così magari capisci meglio. ;)

Aggiunto 2 minuti più tardi:

Ti ho ridetto le stesse cose più volte. Dimmi se ti ho incasinato di più di prima. Che allora parto in modo diverso a spiegare le cose. ;)
adry105
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Ecco ti stavo per dire questo! :) perchè se nn si conservasse la quantità di moto sull'asse x non potrei rispondere all'ultima domanda :) Ps Thanks!

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Mhh cioè mi è chiaro ma nn mi è chiaro :) allora supponiamo che ci siano due corpi m1 e m2. Il corpo m2 sta fermo e il corpo m1 inizialmente ha una velocità e urta contro il corpo m2: considerando il sistema tra i due corpi le forze interne sono a due a due nulle, e le forze esterne possono essere trscurate. Allo stesso modo non si può dire quando la pallina urta contro il muro?.. Mhh cioè le forze interne sono nulle e le forze esterne trascurabili?..

Cioè nel primo caso le forze interne si annullano, e nel secondo invece no? cioè dici che il muro esercita una reazione vincolare sul pallina e quindi nn si conserva la quantità di moto? cioè la pallina non esercità anche una forza sul muro e quindi le forze interne dovrebbero essere nulle?

Ps so che hai ragione ma mi è chiaro il concetto in generale :P

....è colpa del Tipler spiega malissimo, il professore quest'anno l'ha voluto sperimentare kn noi! :P

Aggiunto 30 secondi più tardi:

Mhh cioè mi è chiaro ma nn mi è chiaro :) allora supponiamo che ci siano due corpi m1 e m2. Il corpo m2 sta fermo e il corpo m1 inizialmente ha una velocità e urta contro il corpo m2: considerando il sistema tra i due corpi le forze interne sono a due a due nulle, e le forze esterne possono essere trscurate. Allo stesso modo non si può dire quando la pallina urta contro il muro?.. Mhh cioè le forze interne sono nulle e le forze esterne trascurabili?..

Cioè nel primo caso le forze interne si annullano, e nel secondo invece no? cioè dici che il muro esercita una reazione vincolare sul pallina e quindi nn si conserva la quantità di moto? cioè la pallina non esercità anche una forza sul muro e quindi le forze interne dovrebbero essere nulle?

Ps so che hai ragione ma mi è chiaro il concetto in generale :P

....è colpa del Tipler spiega malissimo, il professore quest'anno l'ha voluto sperimentare kn noi! :P

Aggiunto 14 secondi più tardi:

Mhh cioè mi è chiaro ma nn mi è chiaro :) allora supponiamo che ci siano due corpi m1 e m2. Il corpo m2 sta fermo e il corpo m1 inizialmente ha una velocità e urta contro il corpo m2: considerando il sistema tra i due corpi le forze interne sono a due a due nulle, e le forze esterne possono essere trscurate. Allo stesso modo non si può dire quando la pallina urta contro il muro?.. Mhh cioè le forze interne sono nulle e le forze esterne trascurabili?..

Cioè nel primo caso le forze interne si annullano, e nel secondo invece no? cioè dici che il muro esercita una reazione vincolare sul pallina e quindi nn si conserva la quantità di moto? cioè la pallina non esercità anche una forza sul muro e quindi le forze interne dovrebbero essere nulle?

Ps so che hai ragione ma mi è chiaro il concetto in generale :P

....è colpa del Tipler spiega malissimo, il professore quest'anno l'ha voluto sperimentare kn noi! :P

Aggiunto 12 secondi più tardi:

# the.track : Tutto chiaro allora?

Mhh cioè mi è chiaro ma nn mi è chiaro :) allora supponiamo che ci siano due corpi m1 e m2. Il corpo m2 sta fermo e il corpo m1 inizialmente ha una velocità e urta contro il corpo m2: considerando il sistema tra i due corpi le forze interne sono a due a due nulle, e le forze esterne possono essere trscurate. Allo stesso modo non si può dire quando la pallina urta contro il muro?.. Mhh cioè le forze interne sono nulle e le forze esterne trascurabili?..

Cioè nel primo caso le forze interne si annullano, e nel secondo invece no? cioè dici che il muro esercita una reazione vincolare sul pallina e quindi nn si conserva la quantità di moto? cioè la pallina non esercità anche una forza sul muro e quindi le forze interne dovrebbero essere nulle?

Ps so che hai ragione ma mi è chiaro il concetto in generale :P

....è colpa del Tipler spiega malissimo, il professore quest'anno l'ha voluto sperimentare kn noi! :P

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Okkey okkey la parte teorica in un certo senso c'ero :) Però vedi mi dici che per definizione si definisce urto elastico un urto in cui si conserva la quantità di moto e l'energia cinetica. Nell'esercizio c'è scritto che l'urto è elastico, però sull'asse x non si conserva la quantità di moto :P poi io mi confondo per questo :p
the.track
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Tutto chiaro allora?

Aggiunto 2 giorni più tardi:

adry105:
Mhh cioè mi è chiaro ma nn mi è chiaro allora supponiamo che ci siano due corpi m1 e m2. Il corpo m2 sta fermo e il corpo m1 inizialmente ha una velocità e urta contro il corpo m2: considerando il sistema tra i due corpi le forze interne sono a due a due nulle, e le forze esterne possono essere trscurate. Allo stesso modo non si può dire quando la pallina urta contro il muro?.. Mhh cioè le forze interne sono nulle e le forze esterne trascurabili?..
Cioè nel primo caso le forze interne si annullano, e nel secondo invece no? cioè dici che il muro esercita una reazione vincolare sul pallina e quindi nn si conserva la quantità di moto? cioè la pallina non esercità anche una forza sul muro e quindi le forze interne dovrebbero essere nulle?

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Allora è chiaro che c'è qualcosa che non va nella teoria (qualcosa che non ti è chiaro). Vediamo di porre una base solida su cui lavorare.

QUANTITÁ DI MOTO

Definizione:

Si definisce quantità di moto di un punto materiale, il vettore:

[math]\vec{p}=m\cdot \vec{v}[/math]

Supponendo che la massa sia costante nel tempo potremo derivare rispetto al tempo ottenendo così:

[math]\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}[/math]

Che non è altro che una forma generalizzata della legge di Newton (F=m*a). C'è da dire che questa equazione rappresenta lo stato dinamico del punto, nel quale compaiono la massa e la velocità. Possiamo subito anche intuire che una variazione di forza determina la variazione nel tempo della quantità di moto, ovvero può determinare una variazione della massa, del modulo della velocità, della direzione della velocità, del verso della velocità o di tutte queste messe assieme, o combinazioni di queste (spero sia chiaro cosa intendo con questo punto).

Allora di conseguenza ci si presenta la ghiotta occasione di dividere le variabili ed integrare:

[math]\vec{F}\;dt=d\vec{p}[/math]

Integrando e definendo:

[math]\vec{J}=\int_{0}^t \vec{F}\; dt[/math]

Otteniamo:

[math]\vec{J}=\int_{0}^t \vec{F}\; dt=\int_{p_0}^{p}\; d\vec{p}=\vec{p}-\vec{p_0}=\Delta\vec{p}[/math]

L'integrale della forza nel tempo lo chiameremo impulso della forza, e la relazione soprascritta (che riporto qui sotto):

[math]\vec{J}=\int_{0}^t \vec{F}\; dt[/math]

rappresenta quello che definiamo teorema dell'impulso. Questo ci porta a dire che l'impulso di una forza applicata ad un punto materiale provoca la variazione della sua quantità di moto. Se m resta costante l'equazione si riduce ad una banalità del tipo:

[math]\vec{J}=m\cdot (\vec{v}-\vec{v_0})=m\cdot \Delta \vec{v}[/math]

Piccola osservazione (ma importante):
Il teorema dell'impulso si può usare per calcolare
[math]\Delta\vec{p}[/math]
solo se si conosce F(t) (la funzione che esprime la forza in funzione del tempo), in particolare se
[math]\vec{F}=cost[/math]
.
Se noi invece abbiamo una forza variabile cosa possiamo fare? Sfruttiamo il teorema della media. Applicandolo all'integrale \int_{0}^{t}\vec{F}\; dt, possiamo calcolare sempre il valore medio della forza agente (che ai fini dei nostri calcoli ci va benissimo) nell'intervallo di tempo
[math]t[/math]
. Come?
[math]F_{m}=\frac{\Delta\vec{p}}{t}[/math]

Adesso facciamo alcune considerazioni sul risultato raggiunto.
Se
[math]\vec{F}=0[/math]
allora
[math]\Delta \vec{p}=0[/math]
e quindi
[math]\vec{p}[/math]
resta costante. Enunciamo in modo chiaro questo importantissimo risultato:
In assenza di forza applicata (si intende la sommatoria delle forze esterne) la quantità di moto di un punto materiale resta costante o meglio si conserva la quantità di moto.

URTO ELASTICO

Definizione:

Si definisce urto elastico un urto durante il quale si conserva l'energia cinetica del sistema e la quantità di moto.

[math]\vec{p_{in}}=\vec{p_{fin}}\; \;E_{k_{in}}=E_{k_{fin}}[/math]

In genere qualsiasi tipo di urto è tridimensionale, quindi sei incognite e noi abbiamo solo 4 equazioni, 3 dalla quantità di moto e una dall'energia. Pertanto dobbiamo conoscere qualcosa dopo l'urto. Nel caso unidimensionale possiamo risolvere il problema e quindi possiamo scrivere il sistema:

[math]\begin{case}
m_1v_{1_{in}}+m_2v_{2_{in}}=m_1v_{1_{fin}}+m_2v_{2_{fin}}\\
\frac{1}{2}m_1\(v_{1_{in}}\)^2+\frac{1}{2}m_2\(v_{2_{in}}\)^2=\frac{1}{2}m_1\(v_{1_{fin}}\)^2+\frac{1}{2}m_2\(v_{2_{fin}}\)^2
\end{case}[/math]

Notiamo che:

[math]m_1v_{1_{in}}+m_2v_{2_{in}}=m_1v_{1_{fin}}+m_2v_{2_{fin}}=(m_1+m_2)v_{CM}[/math]

Dove
[math]v_{CM}[/math]
è la velocità del centro di massa.
Allora per comodità prendiamo un sistema di riferimento sul centro di massa.
Ma in questo sistema di riferimento

[math]v_{CM}=0[/math]

Quindi avremo che (indicando le velocità con apice se riferite al centro di massa):

[math]\begin{case}
m_1v'_{1_{in}}=-m_2v'_{2_{in}}\\
m_1v'_{1_{fin}}=-m_2v'_{2_{fin}}\\
\frac{1}{2}m_1\(v'_{1_{in}}\)^2+\frac{1}{2}m_2\(v'_{2_{in}}\)^2=\frac{1}{2}m_1\(v'_{1_{fin}}\)^2+\frac{1}{2}m_2\(v'_{2_{fin}}\)^2
\end{case}
[/math]

Dalle quali si ricava (non ti metto tutti i passaggi):

[math]v'_{1_{fin}}=-v'_{1_{in}}[/math]

e

[math]v'_{2_{fin}}=-v'_{2_{in}}[/math]

Pertanto questo ci porta a considerare che nel sistema di riferimento del centro di massa le quantità di moto dei singoli punti materiali cambiano solo in verso e non in modulo.

Prendiamo ora il sistema di riferimento iniziale, ossia quello fuori del sistema di punti materiali. Avremo:

[math]v_{1_{in}}=v'_{1_{in}}+v_{CM}\\
\\
v_{2_{in}}=v'_{2_{in}}+v_{CM}\\
\\
v_{1_{fin}}=v'_{1_{fin}}+v_{CM}\\
\\
v_{2_{fin}}=v'_{2_{fin}}+v_{CM}[/math]

Conoscendo l'espressione
[math]v_{CM}[/math]
, puoi trovare
[math]v_{1_{fin}}[/math]
e
[math]v_{2_{fin}}[/math]

Allora questa è la parte teorica. Adesso o domani ti metto come applicarla. Ti ho scritto tutto sto papiro così so su cosa posso contare e abbiamo dei parametri uguali con cui confrontarci.
Questo topic è bloccato, non sono ammesse altre risposte.
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