matteo28
matteo28 - Sapiens - 325 Punti
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Ciao a tutti devo fare il problema nella foto, andrebbe fatto così:
1) scomporre la figura in fig. più semplici
2) trovare le singole aree e la risultante
3) trovare baricentro della figura intera (Xg e Yg)
4) calcolare i momenti di inerzia rispetto agli assi baricentrici
5) calcolare il raggio principale di inerzia di ϱx e ϱy
6) rapresentare l'ellisse.

io riesco ad arrivare fino al punto 4 ma poi non riesco più ad andare avanti....
Ali Q
Ali Q - Mito - 23936 Punti
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Ciao, Matteo!
Il tuo esercizio è un classico esercizio di GEOMETRIA DELLE MASSE.
Purtroppo è passato un po' di tempo da quando anch'io mi trovavo alle prese con simili esercizi, di conseguenza avrei bisogno di rifrescare qualche concetto per poterti rispondere dettagliatamente.
Posso comunque provare a darti qualche dritta per andare avanti, che spero potrà esserti utile.
Poichè mi dici che fino al punto 4 riesci a risolverlo, se non spiace ti spiegherei come impostare l'esercizio a partire dal punto 5.

1) MOMENTI DI INERZIA rispetto agli assi baricentrici.

Immagino che l'esercizio richieda i momenti assiali di inerzia e non i centrifughi (che sarebbero assai più complessi dal momento che, se non ricordo male, sono con variabile x e y insieme).
Come saprai -e ti riporterà anche il tuo libro di testo:

Ix = ∫y^2dy
Iy = ∫x^2dx


Non hai dunque che da risolvere questi integrali per tutti quanti i rettangoli che compongono la figura intera.
Come estremi di integrazione puoi scegliere quelli che hai utilizzato al momento di calcolare i momenti statici.
Ti ritroverai dunque tanti momenti di inerzia relativi a punti differenti.

Al punto 4, hai però determinato le coordinate del baricentro della figura intera.
Per completare l'esercizio, ed ottenere tutti i momenti d'inerzia relativi al baricentro della figuar intera, potrai utilizzare il teorema di Huygens-Steiner, secondo cui:
"Il momento d'inerzia rispetto ad un asse a, parallelo ad un altro c passante per il centro di massa (o baricentro), si ottiene sommando al momento di inerzia rispetto a c il prodotto tra la massa del corpo e la distanza al quadrato tra gli assi c ed a".
Cioè:
Ix = I(xG) + md(y)^2
Iy = I(yG) + md(x)^2


Ad ognuno dei momenti di inerzia calcolati rispetto a punti differenti dovrai dunque applicare questa formula, in modo da modificarli e renderli non relativi ad un punto generico ma relativi al baricentro della figura:
Ix(g) = I(x) - md(y)^2
Iy(g) = I(y) - md(x)^2


A questo punto li sommi tra loro ottenendo I(xg) e I(yg) totali.

2) I raggi di inerzia si determinano dividendo i momenti di inerzia per l'area della figura:
px = Ix/Atot
py = Iy/Atot

Essi rappresentano gli assi dell'ellisse di inerzia.

3) Riportando queste lunghezze lungo l'asse baricentrico X e l'asse baricentrico y ottieni quattro punti, che ti saranno da guida per tracciare l'ellisse di inerzia.

Questo è quanto, Matteo, speri di esserti stata utile, e soprattutto che non ci siano errori. Come ti ho detto è passato davvero parecchio tempo dall'ultima volta che ho risolto questo genere di esercizio e molte cose dovrei andarle a rinfrescare un po'.
Ciao!!!
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