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Il moto armonico

Rimandi alla forza centripeta e al moto circolare
Nel moto circolare uniforme, il moto è generato da una accelerazione centripeta, diretta verso il centro.
Essa vale: a= v²/r = ω²r.
Dove v rappresenta la velocità tangenziale del corpo in movimento, e ω la sua velocità angolare.

Quest’accelerazione è prodotta da una forza, detta anch’essa centripeta.
Sfruttando la seconda legge della dinamica, è possibile pervenire al suo valore:
F= m∙a → Fc = m∙ v²/r = m∙ ω²r

La forza che genera il moto è detta “centripeta” poiché è diretta verso il centro della traiettoria circolare.
Se abbiamo per esempio un sasso legato ad una corda e lo si fa ruotare in aria, esso si muoverà con buona approssimazione secondo un moto circolare uniforme.

Al momento in cui si lascia andare la corda, poi, viene a mancare la tensione del filo. Per effetto dell’inerzia, dunque, il sasso si muoverà allora di moto rettilineo uniforme nella direzione che aveva la velocità nell’istante in cui è stata lasciata la corda.

Fatta questa doverosa premessa, vediamo di definire un particolare tipo di moto: il moto armonico.
Per farlo si considerano due particolari tipi di moto armonico: quello della molla e quello del pendolo.

Forza elastica e moto armonico
Supponiamo di avere, appoggiato su di un piano, un peso. Questo peso è collegato ad una molla, fissata ad una parete verticale.
La molla si troverà inizialmente a riposo, poiché non soggetta ad alcuna forza di trazione o compressione, con una lunghezza generica pari ad l.
In queste condizioni, le uniche forze che agiscono sul peso sono la sua forza peso P, diretta verticalmente verso il basso, e la reazione vincolare R esercitata dal piano, uguale e contraria alla forza peso.
Il sistema è complessivamente in equilibrio.
Nel proseguo si considererà trascurabile qualsiasi presenza di attrito.

Figura 1 (presente in allegato)
Applichiamo adesso al peso una forza di trazione. Una forza cioè orizzontale che lo sposti dal punto di equilibrio O (quello in cui si trovava inizialmente) ad un punto che dista da O di una quantità xo.

Figura 2 (presente in allegato)
La molla, ovviamente, si oppone a questa forza, che la “toglie” dal suo stato di riposo, con un’altra forza Fe.

Questa seconda forza è di tipo “elastico” (perché tale è la natura della molla).
Dallo studio del moto elastico si sa che tale forza elastica sarà pari a Fe= -k xo. Dove k è la costante elastica, che dipende dalla natura del materiale di cui è fatta la molla, mentre xo è lo spostamento generato dalla prima forza F. Se Fe=F avremo una nuova situazione di equilibrio delle forze.

Se si lascia andare il peso, invece, per effetto della forza elastica (che adesso è la sola ad essere applicata in direzione orizzontale) esso tornerà indietro con una velocità in aumento.

Tornando indietro ritornerà in O, ma non si fermerà a quel punto. Proseguirà invece oltre O, sia per l’inerzia che per la velocità acquisita. La molla si troverà dunque in condizione di compressione.

Giunto ad certo punto a, per effetto della forza elastica la molla compressa spingerà nuovamente il peso verso destra, con una accelerazione in diminuzione.
Questo avviene, come detto prima, quando il peso raggiunge il punto a, che non è generico, ma è invece il punto simmetrico (rispetto ad O) del punto a’, quello in cui si è trovato il peso quando è stato tirato dalla prima forza F.

Figura 3 (presente in allegato)
Per la forza elastica, dunque, il peso viene di nuovo tirato verso O.

Considerazioni:
Si è creato, tra a e a’, un moto con centro in O.
Se la distanza a-a’ è pari alla generica quantità x, sapendo che F= m∙a, possiamo scrivere:
1) F = -kx → ma = -kx
2) a = - kx/m
3) Chiamiamo la quantità –k/m = ω². Si ha quindi a = ω²x (come nel moto circolare).

Ogni moto la cui accelerazione si ricava con una formula analoga a questa è detto “armonico”.
Nel moto armonico valgono le seguenti equazioni orarie:
x = A sen (ωt + φ)
v = -ωA cos (ωt + φ)
a = -ω²A sen (ωt + φ)
Dove:
A = ampiezza del moto;
φ = fase iniziale;
ωt + φ = fase al tempo t

E per ogni corpo soggetto ad una forza elastica vale:
1) ω =√(k/m)
2) Il periodo del moto vale dunque T= 2π/ω = 2π√(m/k)

Il pendolo
Quello del pendolo è un altro tipo di moto armonico. Stavolta, però, non più su traiettoria rettilinea, ma circolare.

Figura 4 (presente in allegato)

Analisi
Se il corpo rimane nel punto A, esso resta fermo, perché P (peso del corpo) e T (tensione del filo) si equilibrano.
Se spostiamo invece il corpo in B e poi lo lasciamo andare, esso oscillerà da B a B’, dove B’ è il punto simmetrico a B rispetto ad O. Questo significa che, una volta spostato il corpo, P e T non si equilibrano più.
Questo perché P è sempre diretta secondo una retta verticale. La tensione T, invece, segue la direzione del filo.
P si trova dunque ad avere due componenti: una nella direzione di T e l’altra perpendicolare ad essa.
Solo la prima componente è bilanciata da T. L’altra, invece, non bilanciata, è quella che genera il movimento.
Questa forza genera un’accelerazione tangenziale, ricavabile da F= m∙a.
Questa accelerazione è sempre rivolta verso A, centro del moto.

Nel pendolo il periodo di oscillazione vale: T = 2π/ω = 2π√(l/g)
Dove g è l’accelerazione di gravità, mentre l è lunghezza del filo.

Per il pendolo, dunque, valgono le seguenti considerazioni:
1) Legge dell’isocronismo delle piccole oscillazioni: il periodo di oscillazione T non dipende dall’ampiezza delle oscillazioni, ma solo da l.
2) Il periodo è indipendente dalla massa del corpo;
3) Il periodo è direttamente proporzionale a √l e inversamente proporzionale a √g. Di conseguenza, se facessimo oscillare lo stesso pendolo sulla luna, dove l’accelerazione è minore che sulla Terra, si avrebbero oscillazioni più lente, poiché il periodo risulterebbe maggiore.

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