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GRAVITAZIONE

In generale, si definisce gravitazione la tendenza dei corpi a muoversi l’uno verso l’altro, per effetto di una forza reciproca di carattere attrattivo.

Legge di gravitazione universale

La Legge di gravitazione universale, formulata da Newton nel XVII secolo, quantifica la forza di attrazione che riguarda tutti i corpi, dai pianeti agli oggetti più piccoli.
L’intensità di tale forza è pari al prodotto di una costante di gravitazione

[math]G[/math]
con il rapporto tra il prodotto delle masse considerate
[math]m_1 m_2[/math]
e il quadrato della loro distanza
[math]r[/math]
.

[math]F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}[/math]

[math]\text{con } G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ m}^3/(\text{kg} \cdot \text{s}^2)[/math]

La forza gravitazionale si può esprimere in forma vettoriale moltiplicandone l’intensità per un versore (vettore di modulo unitario) opportunamente orientato.

[math]\textbf{F} = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \cdot \frac{\textbf{r}}{r}[/math]


Gravitazione in prossimità della superficie terrestre

La Legge di gravitazione universale si applica a corpi puntiformi, ma è anche possibile estenderla al caso di oggetti reali le cui dimensioni risultino piccole rispetto alla distanza che li separa (come la Terra e la Luna).
La legge non sembra applicabile se si considera un corpo comune (ad esempio una mela) in prossimità della superficie terrestre.
Tuttavia, lo stesso Newton dimostrò che un guscio sferico uniforme attira una particella situata all’esterno come se tutta la massa del guscio fosse concentrata in corrispondenza del suo centro.

Immaginando la Terra come una serie di gusci sferici concentrici, è dunque possibile ricondurla al caso dei corpi puntiformi e determinare l’attrazione gravitazionale che il pianeta esercita presso la superficie (considerandone il raggio).
Più in generale, tale assunzione consente di valutare l’effetto che l’attrazione gravitazionale delle Terra (di massa

[math]M[/math]
) esercita sui corpi, in termini di accelerazione.
Considerato un corpo di massa
[math]m[/math]
su cui agisce esclusivamente la forza gravitazionale, essa è pari alla risultante delle forze agenti sul corpo e, in applicazione della Seconda legge di Newton, vale la relazione:


[math]F_{net} = ma_g = F = G \frac{Mm}{r^2} \rightarrow ma_g = G \frac{Mm}{r^2} \rightarrow a_g = G \frac{M}{r^2}[/math]

L’accelerazione

[math]a_g[/math]
non è altro che l’accelerazione gravitazionale
[math]g[/math]
, diffusamente impiegata nella risoluzione dei problemi pratici (e, come risulta dall’equazione, indipendente dalla massa
[math]m[/math]
dei corpi).
Precisamente, la costante di accelerazione
[math]g[/math]
è un’approssimazione dell’accelerazione che la forza gravitazionale produce sui corpi, in quanto:
  • la Terra non è omogenea, ma ha densità variabile di regione in regione, anche a parità di altitudine;

  • la Terra non è esattamente sferica, bensì è un ellissoide di raggio maggiore in prossimità dell’equatore;

  • la Terra ruota attorno al proprio asse ed imprime ai corpi un’accelerazione centripeta (salvo in corrispondenza dei poli).

Gravitazione all’interno della Terra

Il teorema di Newton relativamente al caso dei gusci sferici omogenei riguarda anche i corpi localizzati all’interno e afferma che, su questi ultimi, l’attrazione gravitazionale è nulla.
Pertanto, se la Terra fosse omogenea e perfettamente sferica, la forza gravitazionale al suo interno varierebbe secondo due effetti:

  • tenderebbe ad aumentare con il ridursi della distanza dal suo centro;

  • tenderebbe a diminuire poiché i gusci esterni a una certa posizione radiale cesserebbero di esercitare la loro attrazione.

Tuttavia, il secondo effetto è quasi annullato dalla densità disomogenea della Terra.
Si può affermare, con buona approssimazione, che la forza gravitazionale esercitata dal pianeta cresce linearmente rispetto al decrescere del suo raggio.

Energia potenziale gravitazionale

Il concetto di energia potenziale gravitazionale, espresso rispetto alla Terra dalla relazione

[math]∆U_g = mgy[/math]
, si generalizza al caso di due corpi qualsiasi (di massa
[math]m[/math]
e
[math]M[/math]
).
Posto il riferimento
[math]U = 0[/math]
per una distanza
[math]r[/math]
infinita, l’energia potenziale gravitazionale tra i corpi decresce con la distanza che li separa ed assume un valore necessariamente negativo.


[math]U = - \frac{GMm}{r}[/math]

[math]\text{se } r \rightarrow \inf \text{ allora } U \rightarrow 0[/math]

Volendo esprimere l’energia potenziale gravitazionale rispetto a più di due corpi (ad esempio i corpi 1, 2, 3, rispettivamente di massa

[math]m_1[/math]
,
[math]m_2[/math]
,
[math]m_3[/math]
) è sufficiente considerarli separatamente.


[math]U = -(\frac{Gm_1m_2}{r_{12}} + \frac{Gm_2m_3}{r_{23}} + \frac{Gm_1m_3}{r_{13}})[/math]

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