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Meccanica dei Fluidi - Portata

Definizione di portata di massa e volume; dimostrazioni;

E io lo dico a Skuola.net
La Portata
In idrodinamica la portata è a quantità di fluido che attraversa una sezione di area S nell'unità di tempo.

Più precisamente, ci sono diversi tipi di portata:
- la portata di volume (la quantità di volume di fluido che attraversa...)
- la portata di massa (la quantità di massa di fluido che attraversa...)
- la portata di ... (la quantità di ... che attraversa ...)

In generale, la parola portata è seguita da un "di qualcosa" che specifica a quale portata ci si riferisce (ovvero di quale grandezza fisica si vuole studiare il trasporto).

Ovviamente nelle situazioni più semplici, tra le varie portate esistono delle relazioni;
per esempio, la massa e il volume di un fluido sono legati dall'equazione
[math]M = \rho V[/math]
, dove
[math]\rho[/math]
è la densità (e si è fatta l'ipotesi di densità costante, per non tirare in ballo integrali tripli).
Quindi in caso di fluido incomprimibile e a densità costante, la portata di massa e di volume si distinguono solo per un fattore moltiplicativo (la densità
[math]\rho[/math]
)
Nel seguito intenderemo portata di massa, quando non specificato.

Per caratterizzare una portata, immaginiamo una superficie fissa attorno a una certa porzione di fluido; la portata di massa è la quantità di massa che entrerà o uscirà nella superficie.

Ora mostriamo che la quantità di massa che attraversa la superficie è uguale a
[math]\rho \vec v \cdot \vec S[/math]
, dove
[math]\vec v[/math]
è la velocità (uniforme) del fluido, e
[math]\vec S[/math]
è la superficie orientata (convenzionalmente, la direzione del vettore superficie è ortogonale alla superficie stessa, e nel verso uscente).
Partiamo da un caso semplice: tutto il fluido in moto con velocità costante e uniforme v, che attraversa una superficie di area S, posta perpendicolarmente alla velocità.
E' abbastanza evidente (magari con un disegnino), che la quantità di volume di fluido che attraversa la superficie nel tempo
[math]\Delta t[/math]
è data dal volume del parallelepipedo con spigolo di base
[math] v \Delta t[/math]
e di superficie laterale
[math]S[/math]
.
La massa che attraversa la superficie
[math]S[/math]
in un tempo
[math]\Delta t[/math]
è quindi
[math]\Delta M = \rho v S \Delta t[/math]
Quindi, la quantità di massa che passa nell'unità di tempo è:
[math]\frac{\Delta M}{\Delta t} = \rho v S [/math]

Nel caso in cui la velocità del fluido non è perpendicolare alla superficie, si tiene conto della quantità effettiva di fluido che attraversa la superficie mediante il prodotto scalare:
[math]\frac{\Delta M}{\Delta t} = \rho \vec v \cdot \vec S [/math]
dove la "direzione" della superficie è (convenzionalmente), la perpendicolare alla superficie, e il verso è quello "esterno", se la superficie è chiusa.

Nel caso in cui la velocità del fluido o la densità non sono uniformi lungo la superficie, oppure la superficie è curva è necessario fare uso del calcolo integrale, scrivendo la portata come:
[math]\frac d {dt} M= \int \int \rho \vec v \cdot d\vec S\[/math]
dove l'integrale è esteso a tutta la superficie.
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