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Quantità di moto

La grandezza fisica “quantità di moto” (o momento lineare, o impulso) è definita come il prodotto della massa di un punto materiale per la sua velocità:
[math] \vec p = m \vec v[/math]

La quantità di moto è un vettore che ha stessa direzione e verso del vettore velocità;
Nel Sistema Internazionale la quantità di moto si misura in kg m s^-1.

La seconda legge della dinamica si può scrivere come

[math]\vec F = \frac {d \vec p}{ dt}[/math]
.

Dalla seconda Legge della dinamica si può ricavare "il teorema dell’impulso":
se su un punto materiale agisce una forza (costante) in un tempo

[math]\Delta t[/math]
, la quantità di moto del punto materiale varia di
[math]\vec F \Delta t[/math]
:

[math]\vec F \Delta t = \Delta \vec p[/math]

La quantità

[math]\vec F \Delta t[/math]
viene a volte indicata come "impulso".


In base al terzo principio della dinamica, si può dimostrare che se in un corpo non agiscono forze esterne (o meglio, la risultante delle forze esterne è nulla), la quantità di moto del sistema (ovvero la somma delle quantità di moto dei singoli punti del sistema) si conserva.

Un sistema di punti materiali o corpi su cui non agiscono forze esterne, oppure la cui risultante è nulla viene chiamato “sistema isolato”.

In un qualsiasi processo isolato quindi la quantità di moto totale del sistema è un vettore costante, che non cambia durante il processo.

La legge di conservazione della quantità di moto è fondamentale e importantissima in fisica, ed è valida anche in relatività ristretta, o nella fisica delle particelle elementari.


Urti tra punti materiali

La conservazione della quantità di moto, insieme alla conservazione dell'energia, permette di risolvere facilmente problemi di urti di particelle o di decadimenti.
Le applicazioni sono molteplici, e vanno dagli urti tra palle tra biliardo, alle interazioni delle particelle elementari (come gli urti tra particelle che avvengono al CERN) o ai decadimenti radioattivi.

Esiste la seguente distinzione degli urti in base alla conservazione dell’energia e all'identità delle particelle:


    1 URTI ELASTICI = quelli in cui si conserva l’energia cinetica, e i corpi iniziali e finali mantengono la loro identità;
    2 URTI ANELASTICI = quelli in cui non si conserva l’energia cinetica, che va in energia interna dei corpi;
    3 URTI COMPLETAMENTE ANELASTICI= quelli in cui i corpi dopo l’urto restano attaccati, o si spezzano, o vengono creati nuovi corpi.

Bisogna notare che l'energia totale è sempre conservata: l'energia cinetica delle particelle apparentemente perduta negli urti anelastici va in energia interna, o calore.

A livello macroscopico gli urti sono generalmente anelastici, per esempio quando due palle da biliardo si urtano, parte dell'energia cinetica va in energia interna delle palle, che aumenteranno la temperatura.

A livello microscopico esistono sia urti elastici che urti anelastici, che urti completamente anelastici, per esempio:
- urto elastico tra elettrone libero e fotone (chiamato diffusione Compton);
- urto anelastico tra una particella e un nucleo atomico, il nucleo va in uno stato eccitato;
- urto completamente anelastico tra un fotone e un atomo: l'atomo si eccita assorbendo il fotone;
- urto completamente anelastico tra un neutrone e un nucleo atomico: il neutrone può essere assorbito dal nucleo, e nello stato finale ci sarà un nucleo con numero di massa aumentato di una unità (e eventualmente un fotone per conservare l'energia totale).

In generale, per risolvere cinematicamente un problema d'urto, bisogna imporre che la quantità di moto totale del sistema prima e dopo l'urto sia conservata,
e che l'energia totale del sistema prima e dopo l'urto sia conservata.

Poiché la quantità di moto è un vettore, la richiesta di conservare la quantità di moto totale, si traduce in un sistema di 3 equazioni:

- un'equazione per la quantità di moto lungo l'asse x;
- un'equazione per la quantità di moto lungo l'asse y;
- un'equazione per la quantità di moto lungo l'asse z;

Insieme all'equazione per conservare l'energia totale, si hanno in tutto 4 equazioni indipendenti.

Ovviamente, se il moto avviene su un piano o su una linea, il numero di equazioni effettive da risolvere diminuisce.

Quantità di moto ad alte velocità

Quando le velocità in gioco sono vicine a quelle della luce (circa 3*10^8 m/s), la dinamica Newtoniana non è più valida, e serve la relatività ristretta.

La legge di conservazione della quantità di moto è però ancora valida in relatività ristretta, se si utilizza come quantità di moto:

[math] \vec p = \gamma m \vec v[/math]

dove
[math]\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}[/math]
, con c velocità della luce nel vuoto (
[math]c \sim 2.99 \cdot 10^8 m/s[/math]
).

Si nota che per velocità piccole rispetto a quelle della luce (quindi in meccanica Newtoniana), il termine

[math]\gamma[/math]
si riduce in prima approssimazione ad 1, e la quantità di moto torna quindi ad essere bene approssimata da mv.

Quantità di moto per un corpo rigido

Per un corpo rigido, si può dimostrare che la quantità di moto vale
[math]\vec P = M \vec V_{cm}[/math]
,
dove M è la massa totale del corpo, e V_cm la velocità del centro di massa del corpo.
Tutto va come se la quantità di moto fosse quella di un punto con tutta la massa del corpo rigido, localizzato nel centro di massa del corpo.

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