Mito 11351 punti

Il lavoro

Supponiamo che un punto materiale sia soggetto alla forza
[math] \vec F [/math]
, e che si muova di un tratto
[math]\Delta \vec s[/math]
.

Se nel tratto

[math]\Delta \vec s[/math]
la forza non è variata (ovvero la forza non dipende dalla posizione), definiamo il lavoro come [equazione 1]

[math]L = \vec F \cdot \Delta \vec s[/math]


Sia la forza che lo spostamento sono vettori (ovvero, la forza ha una direzione e lo spostamento ha una direzione).
Il lavoro è quindi il prodotto scalare tra la forza e lo spostamento.

Utilizzando la nota proprietà del prodotto scalare, si può scrivere la [equazione 1] come

[math]L = |\vec F| |\vec \Delta s| \cos \theta[/math]
,
dove
[math]\theta[/math]
è l'angolo compreso tra il vettore Forza e il vettore spostamento,
e
[math]|\vec F| |\vec \Delta s| [/math]
è il prodotto tra il modulo del vettore forza e il modulo del vettore spostamento.

Appare evidente che
- se la forza e lo spostamento sono ad angoli retti, il lavoro della forza è nullo (il coseno di un angolo retto è zero);
- se la forza e lo spostamento hanno la stessa direzione e verso concorde, il lavoro della forza è positivo, e vale

[math]L = |\vec F| |\vec \Delta s|[/math]
,
- se la forza e lo spostamento hanno la stessa direzione e verso opposto, il lavoro della forza è negativo, e vale e vale
[math]L = -|\vec F| |\vec \Delta s|[/math]
.

L'unità di misura del lavoro nel Sistema Internazionale è il J (joule) che è uguale a 1N* 1m.


Definzione Completa di Lavoro

L'espressione [1] è valida se e solo se la forza
[math]\vec F[/math]
si mantiene costante lungo lo spostamento
[math]\Delta \vec s[/math]
.

Se la forza

[math]\vec F[/math]
è costante a tratti, si può definire e calcolare il lavoro nella seguente maniera:

[math]L = \sum_{i=0}^N \vec F_i \cdot \Delta \vec {s_i}[/math]
,
ovvero il lavoro è la somma dei vari "lavorini"
[math] \vec F_i \cdot \Delta \vec {s_i}[/math]
, nei trattini
[math]\Delta \vec s_i[/math]
nei quali la forza è costante (e vale
[math]\vec F_i[/math]
).

Se la forza varia

[math]\vec F[/math]
con continuità a seconda della posizione del punto materiale (ovvero matematicamente la forza è una funzione vettoriale del punto (
[math] \vec F = \vec F (x, y, z)[/math]
)), il lavoro della forza in uno spostamento dal punto A al punto B si esprime come il seguente integrale:

[math]L_{A \to B} = \int_B^A \vec F \cdot \vec {ds} [/math]
,
dove il pedice AB sotto L ricorda che è il lavoro della forza per spostare il punto da A a B.


Utilità del Lavoro in Meccanica

Il lavoro è una grandezza fisica estremamente utile, in quanto per un sistema meccanico vale il teorema del Lavoro e dell'energia cinetica:
Se su un corpo (punto materiale) agisce una forza
[math]\vec F[/math]
, e la forza sposta il corpo da una punto A a una punto B, la variazione dell'energia cinetica del corpo equivale al lavoro fatto dalla forza:

[math]L = \Delta E_k[/math]

Dinamicamente, una forza che fa lavoro negativo si oppone al moto (diminuisce la velocità del corpo), mentre una forza che fa lavoro positivo favorisce il moto (aumenta la velocità del corpo).

Registrati via email