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Moto Armonico: cinematica

Si definisce moto armonico il moto di un punto materiale il cui spostamento x(t) al tempo t varia secondo la legge

[math]x(t)=x_0 \cos(\omega t + \phi)[/math]

dove
-
[math]x_0[/math]
è l'ampiezza del moto, ovvero il massimo spostamento del punto materiale dall'origine delle coordinate;
-
[math]\omega[/math]
è un parametro chiamato "frequenza angolare" o "pulsazione del moto", di dimensioni rad/s;
-
[math]\phi[/math]
è un parametro chiamato "fase", ed è legato alla posizione iniziale del punto materiale.

Un moto armonico si può considerare anche come la proiezione di un moto circolare uniforme su un asse cartesiano.

Il periodo del moto armonico è legato alla frequenza angolare dalle seguenti equazioni:

[math]T=2 \pi \omega [/math]

si definisce frequenza (
[math]\nu[/math]
)
[math]\nu = \frac {\omega}{2 \pi} [/math]

Moto Armonico: dinamica

Un punto materiale descrive un moto armonico se è soggetto alla forza di richiamo "elastica"
[math]\vec F = - k \vec r[/math]

dove il vettore
[math]\vec r[/math]
indica lo spostamento dall'origine delle coordinate;

Ricaviamo la soluzione del moto facendo uso del calcolo differenziale ed integrale.
L'equazione della dinamica

[math]\vec F = m \vec a = m \frac{d^2 \vec r}{ d t^2}[/math]

assume forma
[math] m \frac{d^2 \vec r}{ d t^2} = - k \vec r[/math]
;
ovvero
[math] \frac{d^2 \vec x}{ d t^2} + \omega^2 \vec r = 0[/math]
,
dove è stato introdotto
[math] \omega = \sqrt{\frac k m}[/math]
.

La soluzione generale dell'equazione differenziale del moto è del tipo

[math] \vec r(t) = \vec r_0 \cos (\omega t) + \vec v_0 sin (\omega t) [/math]
,
che è riscrivibile come
[math] \vec r(t) = \vec \alpha cos (\omega t + \phi)[/math]
.


Moto Armonico: bilancio energetico

L'energia cinetica di un punto materiale è

[math] E_k = \frac 1 2 m v^2[/math]

L'energia potenziale di un punto materiale in un campo di forze del tipo
[math]\vec F = - k \vec r[/math]
è
[math] U = \frac 1 2 k r^2[/math]

Segue che l'energia totale, ovvero la somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale è costante durante il moto armonico, e vale:

[math] E = E_k + U =\frac 1 2 m v^2 + \frac 1 2 k r^2 [/math]

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