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La velocità di un corpo in moto può variare, da una velocità (istantanea) iniziale

[math]v_0[/math]
a una velocità (istantanea) finale
[math]v[/math]
, secondo la grandezza fisica chiamata accelerazione.
Tale grandezza corrisponde al rapporto tra la differenza di velocità nei due istanti considerati e la durata dello spostamento compiuto dal corpo nell'intervallo di tempo che circoscrivono.

Precisamente, si definiscono:

  • accelerazione media
    [math]\overline{\textbf{a}}[/math]
    , il rapporto che, considerando la durata (significativa) di un intero spostamento, esprime il valore medio dell'accelerazione che ha caratterizzato il moto durante il suo svolgimento;
  • [math]\text{nel caso unidimensionale (moto rettilineo): }[/math]

    [math] \overline{a} = \frac{∆v}{∆t} = \frac{v – v_0}{t – t_0}[/math]

    [math]\text{nel caso bidimensionale o tridimensionale: }[/math]

    [math] \overline{\textbf{a}} = \frac{\textbf{∆v}}{∆t} = \frac{\textbf{v} - \textbf{v}_0}{t – t_0}[/math]

  • accelerazione istantanea
    [math]\textbf{a}[/math]
    (o semplicemente accelerazione), il rapporto che, considerando uno spostamento infinitesimo, esprime l'accelerazione del moto in un preciso istante (algebricamente, corrisponde al limite per
    [math]∆t \rightarrow 0[/math]
    dell'accelerazione media, cioè alla derivata prima della velocità rispetto al tempo e alla derivata seconda della posizione rispetto al tempo).

[math]\text{nel caso unidimensionale (moto rettilineo): }[/math]

[math]a = \lim_{∆t \to 0} \overline{a} = \lim_{∆t \to 0} \frac{∆v}{∆t} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{dx}{dt}) = \frac{d^2x}{dt^2}[/math]


[math]\text{nel caso bidimensionale o tridimensionale: }[/math]

[math]\textbf{a} = \lim_{∆t \to 0} \overline{\textbf{a}} = \lim_{∆t \to 0} \frac{\textbf{∆v}}{∆t} = \frac{d \textbf{v}}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{d \textbf{r}}{dt}) = \frac{d^2 \textbf{r}}{dt^2}[/math]

NOTA 1 - L'accelerazione corrisponde al rapporto tra una misura di velocità e un intervallo di tempo, pertanto si esprime in metri al secondo quadrato (m/s2).

NOTA 2 - Un'accelerazione con verso negativo corrisponde, evidentemente, a una decelerazione.
NOTA 3 - Poiché l'accelerazione (istantanea) corrisponde alla derivata prima della velocità
[math]\textbf{v}[/math]
rispetto al tempo
[math]r[/math]
, vale la relazione inversa, cioè la velocità (istantanea) risulta dall'integrale dell'accelerazione.


[math]\textbf{a} = \frac{d \textbf{v}}{dt} \rightarrow d \textbf{v} = \textbf{a} dt \rightarrow \textbf{v} = \int \textbf{a} dt[/math]

L'accelerazione (media o istantanea) è ben visualizzata dalla funzione

[math]v(t)[/math]
che descrive il moto attraverso la relazione tra velocità e tempo.
Nella rappresentazione grafica di tale funzione:
  • l'accelerazione media corrisponde alla pendenza della retta secante i punti corrispondenti alle velocità iniziale e finale considerate;

  • l'accelerazione istantanea corrisponde alla pendenza della retta tangente la funzione
    [math]v(t)[/math]
    nel punto considerato.

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