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L’accelerazione dei sistemi complessi

Considerato un generico sistema di particelle (punti materiali) di massa complessiva

[math]M[/math]
, il centro di massa è il solo punto il cui moto è governato, sempre e comunque, dalla Seconda legge di Newton. In altre parole:


[math]\textbf{F}_{net} = M \textbf{a}_{cdm}[/math]

[math]F_{net,x} = M a_{cdm,x} \text{; } F_{net,y} = M a_{cdm,y} \text{; } F_{net,z} = M a_{cdm,z}[/math]

NOTA: si considera un sistema chiuso, tale per cui la massa complessiva non varia per effetto del moto o delle forze esterne.
Tale affermazione si dimostra algebricamente, considerando un sistema di

[math]n[/math]
particelle. di massa complessiva
[math]M[/math]
, il cui centro di massa è individuato dal vettore posizione
[math]\textbf{r}_{cdm}[/math]
.


[math]M\textbf{r}_{cdm} = m_1 \textbf{r}_1 + m_2 \textbf{r}_2 + … + m_n \textbf{r}_n [/math]

Poiché la velocità corrisponde alla derivata rispetto al tempo della posizione e l’accelerazione, a sua volta, è la derivata rispetto al tempo della velocità, risulta:

[math]M \textbf{v}_{cdm} = m_1 \textbf{v}_1 + m_2 \textbf{v}_2 + … + m_n \textbf{v}_n \text{ con } \textbf{v}_i = \frac{d \textbf{r}_i}{dt} \text{ e } \textbf{v}_{cdm} = \frac{d\textbf{r}_{cdm}}{dt}[/math]

[math]M \textbf{a}_{cdm} = m_1 \textbf{a}_1 + m_2 \textbf{a}_2 + … + m_n \textbf{a}_n \text{ con } \textbf{a}_i = \frac{d \textbf{v}_i}{dt} \text{ e } \textbf{a}_{cdm} = \frac{d\textbf{v}_{cdm}}{dt}[/math]

In applicazione della Seconda legge di Newton, i termini

[math]m_i \textbf{a}_i[/math]
corrispondono alla risultante delle forze agenti su ciascuna particella del sistema considerato.
La somma vettoriale di tali forze è la risultante rispetto all’intero sistema, per cui:

[math]\textbf{F}_{net} = M \textbf{a}_{cdm} = \textbf{F}_{net,1} + \textbf{F}_{net,2} + … + \textbf{F}_{net,n} = m_1 \textbf{a}_1 + m_2 \textbf{a}_2 + … + m_n \textbf{a}_n[/math]

Quantità di moto

L’analisi fisica degli urti e, più in generale, dell’interazione dinamica tra i corpi, richiede l’introduzione di una grandezza chiamata quantità di moto o momento lineare.
Si tratta di una grandezza vettoriale che misura la capacità di un corpo di modificare il moto degli oggetti con i quali entra in contatto e risulta dal prodotto tra la massa

[math]m[/math]
del corpo stesso e la sua velocità
[math]\textbf{v}[/math]
.

[math]\textbf{q} = m \textbf{v}[/math]

NOTA: per definizione, la quantità di moto si misura in chilogrammi per metro al secondo (kg • m/s); il vettore

[math]\textbf{q}[/math]
ha direzione e verso uguali al vettore velocità
[math]\textbf{v}[/math]
, essendo la massa m una grandezza scalare sempre positiva.
La quantità di moto di un corpo dipende direttamente dalla forza risultante applicata ad esso ed ogni sua variazione è proporzionale a quest’ultima. Infatti (richiamando la Seconda legge di Newton):

[math]\textbf{F}_{net} = m \textbf{a} = m \frac{d \textbf{v}}{dt} = \frac{d}{dt} (m \textbf{v} = \frac{d\textbf{q}}{dt})[/math]

Si ricava che la quantità di moto di un corpo varia esclusivamente in applicazione di una forza risultante non nulla; in caso contrario, risulta costante.

Quantità di moto di sistemi complessi

Dato un sistema complesso di

[math]n[/math]
punti materiali, ognuno dei quali dotato di propria massa
[math]m_i[/math]
e velocità vi, la quantità di moto complessiva
[math]\textbf{Q}[/math]
di tale sistema risulta dalla somma vettoriale delle quantità di moto
[math]q_i[/math]
associate a ciascuno dei punti materiali componenti.
Essa è pari al prodotto tra la massa complessiva M del sistema e la velocità del suo centro di massa vcdm.

[math]\textbf{Q} = \textbf{q}_1 + \textbf{q}_2 + … + \textbf{q}_n = m_1 \textbf{v}_1 + m_2 \textbf{v}_2 + … + m_n \textbf{v}_n = M \textbf{v}_{cdm}[/math]

La forza risultante

[math]\textbf{F}_{net}[/math]
applicata all’intero sistema è pari alla derivata della quantità di moto complessiva:

[math]\textbf{F}_{net} = \frac{d\textbf{Q}}{dt}[/math]

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