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Errori Casuali, Gaussiana

L'errore casuale o statistico è qualsiasi errore di misurazione che può incidere con la stessa probabilità in aumento o in diminuzione sul valore misurato. Gli errori casuali sono dovuti a inevitabili fluttuazioni statistiche dei risultati delle misure. È possibile però, attraverso ripetizioni identiche dell'esperimento, riuscire a misurarli e quindi a tenerne conto nel risultato finale:
una serie ripetuta di misurazioni comporta la progressiva riduzione dell'errore casuale, poiché i singoli scostamenti si annullano reciprocamente.

Questo genere di errore è prodotto da fenomeni aleatori derivati da errori di lettura degli strumenti o fluttuazioni indotte da fenomeni esterni, come disturbi, variazioni di temperatura ecc. Più uno strumento è preciso e meno questi fenomeni aleatori influenzano la misurazione (e dunque più relativamente piccoli sono mediamente gli errori casuali associati).

Gauss ha elaborato una teoria sugli errori casuali, ed è riuscito ad esprimere la distribuzione della probabilità di un errore casuale.
La legge che ne deriva prende il nome di legge normale di Gauss.
Va detto che non è affatto certo che qualsiasi evento aleatorio di tipo probabilistico segua la legge di Gauss, ma se il numero di misure è molto alto, è molto probabile che accada, a causa del Teorema del Limite Centrale.

I risultati che stanno per essere dati sono conseguenza di questa ipotesi.

Data una serie di osservazioni sperimentali, se queste sono abbastanza numerose appare essere non possibile il fissare l’attenzione su ciascuna di esse (troppe informazioni equivalgono a nessuna informazione).
E’ quindi necessario definire (inventare) pochi parametri essenziali, capaci di descrivere con sufficiente precisione i caratteri fondamentali dei dati osservati.

Sono stati identificati, quali parametri necessari per dare una descrizione essenziale di una nube di osservazioni:
- un parametro capace di descrivere la loro localizzazione;
- un parametro capace di descrivere la loro dispersione;

Il parametro più usato per localizzare l’insieme delle osservazioni è la media aritmetica. Se indichiamo con x_i (i = 1 .. N) il risultato di ogni singola misura, la media della misura viene calcolata con la relazione:

[math]<x> = \frac 1 N \sum_{i=1}^N x_i[/math]

Una volta localizzate le osservazioni, è facile riconoscere nelle differenze degli indicatori di dispersione. Per evitare gli inconvenienti che derivano dal fatto che le differenze anzidette sono sia positive che negative (a somma zero), si definisce, come parametro descrittivo della dispersione, la varianza dell’insieme delle osservazioni:

[math] \sigma^2 = \frac 1 N \sum_{i=1}^N (x_i - <x>)^2[/math]

Per ragioni di omogeneità nelle unità di misura, si preferisce usare, come parametro indicatore finale, la radice quadrata della varianza, a cui viene dato il nome come scarto quadratico medio o deviazione standard.

Viene dimostrato, nell’ambito delle ipotesi di Gauss, che, se un insieme di osservazioni ha media

[math]\mu [/math]
e scarto quadratico medio
[math]\sigma[/math]
:

    - la probabilità che la misura esatta cada nell’intervallo
    [math](\mu -\sigma, \mu + \sigma)[/math]
    è dell’ordine del 68%
    - la probabilità che la misura esatta cada nell’intervallo
    [math](\mu -2\sigma, \mu + 2\sigma)[/math]
    è dell’ordine del 95%
    - la probabilità che la misura esatta cada nell’intervallo
    [math](\mu -3\sigma, \mu + 3\sigma)[/math]
    è dell’ordine del 99%

Spesso, per Teoria degli Errori si intende (tacitamente) la teoria degli errori accidentali, in quanto è solo questa parte che offre lo spunto per analisi teoriche, dal contenuto e dalle conseguenze notevoli.

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