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I versori

Molto spesso è conveniente parlare della componente di un vettore lungo una particolare direzione: ad esempio della componente del vettore accelerazione lungo la verticale.

Si introducono quindi i versori o vettori di modulo 1 nella direzione che si vuole studiare:
dato un sistema di coordinate cartesiane (x, y, z) si introducono i versori cartesiani

[math] \vec i [/math]
,
[math] \vec j [/math]
,
[math] \vec k [/math]
corrispondenti rispettivamente alle direzioni lungo l'asse x, y e z.

Ogni versore ha (per definizione) modulo uno:

[math] \vec i \cdot \vec i = \vec j \cdot \vec j = \vec k \cdot \vec k =1 [/math]

Gli assi x, y, e z sono ortogonali, quindi anche i versori

[math] \vec i [/math]
,
[math] \vec j [/math]
,
[math] \vec k [/math]
sono ortogonali:
[math] \vec i \cdot \vec j = \vec j \cdot \vec k = \vec k \cdot \vec i =0 [/math]

Con queste definizioni, ogni vettore può essere scritto nella forma:

[math] \vec a = (a_x, a_y, a_z) = a_x \vec i + a_y \vec j + a_z \vec k[/math]

Il prodotto scalare di un vettore per un versore, restituisce la componente del vettore lungo la direzione del versore:

[math] \vec a \cdot \vec i = a_x [/math]

[math] \vec a \cdot \vec j = a_y [/math]

[math] \vec a \cdot \vec k = a_z [/math]

I versori

[math] \vec i [/math]
,
[math] \vec j [/math]
,
[math] \vec k [/math]
relativi ad un sistema cartesiano di coordinate ortogonali destrogire soddisfano le seguenti identità:
[math] \vec i \times \vec j = \vec k [/math]

[math] j \times \vec k = \vec i [/math]

[math] k \times \vec i = \vec j [/math]

Versori radiali e tangenziali

Molto spesso è utile introdurre i versori radiali e tangenziali.

Se il vettore

[math]\vec r[/math]
indica la posizione di un punto P (tipicamente mobile) rispetto ad un altro punto O (tipicamente l'origine delle coordinate), si definisce
il versore radiale (o versore centrale)
[math]\vec e_r = \frac {\vec r}{|\vec r|}[/math]
.
Il versore radiale è sempre in direzione di O, con verso da O a P.

Un esempio di uso del versore radiale è in elettrostatica (o nella gravitazione Newtoniana):
supponiamo di porre un punto di carica elettrica Q nell'origine delle coordinate, e un punto di carica elettrica q in un punto situato a distanza

[math]\vec r[/math]
dall'origine;
la forza sulla carica q è data da (legge di Coulomb)
[math]\vec F = \frac 1 {4\pi \epsilon_0} \frac {Qq}{r^2} \vec e_r[/math]

dove il versore
[math]\vec e_r[/math]
indica che la direzione della forza è lungo la linea retta che passa per il punto di carica q (che si trova in
[math]\vec r[/math]
) e per il punto di carica Q (che si trova nell'origine del sistema di coordinate).

Un altro esempio di uso del versore radiale si ha nello studio del moto circolare:
l'accelerazione di un punto materiale che si muove di moto circolare uniforme è rivolta verso il centro della circonferenza e vale

[math]\vec a_r = - \frac {v^2}{r} \vec e_r[/math]

Il versore tangenziale

[math]\vec e_\phi[/math]
è definito come il versore ortogonale al versore
[math]\vec e_r[/math]
, nella direzione che si orriene ruotando
[math]\vec e_r[/math]
di 90° gradi in senso antiorario.

Il modulo dei versori polari è uno (per definizione):

[math] \vec e_r \cdot \vec e_r = \vec e_\phi \cdot \vec e_\phi = 1 [/math]

I versori radiali e tangenziali sono tra loro ortogonali:

[math] \vec e_r \cdot \vec e_\phi = 0 [/math]

Relazione tra i versori cartesiani e polari

I versori cartesiani
[math] \vec i [/math]
,
[math] \vec j [/math]
,
[math] \vec k [/math]
sono fissi, ovvero puntano sempre nella stessa direzione (quella dell'asse x, y e z).
I versori polari
[math] \vec e_r [/math]
,
[math] \vec e_\phi [/math]
invece non sono fissi, ma la loro direzione dipende dalla posizione del punto.

Per passare dai versori cartesiani a polari, si usa la seguente trasformazione:

[math]\begin{cases}
\vec e_r = \cos \phi \vec i + \sin \phi \vec j \\
\vec e_\phi = -\sin \phi \vec i + \cos \phi \vec j
\end{cases}[/math]

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