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Vettori - Prodotto Vettoriale

Il prodotto vettoriale; definizione, uso e applicazione in fisica;

E io lo dico a Skuola.net
Il prodotto Vettoriale
Il prodotto vettoriale è un'operazione binaria tra due vettori nello spazio euclideo tridimensionale, che restituisce un vettore perpendicolare ai due vettori in input.

Siano
[math]\vec a = (a_x, a_y, a_z)[/math]
e
[math]\vec b = (b_x, b_y, b_z)[/math]
due vettori in uno spazio euclideo tridimensionale.
L'operazione di prodotto vettoriale si indica con
[math]\vec a \times \vec b[/math]
.
Il prodotto vettoriale
[math]\vec a \times \vec b[/math]
(in questo ordine) restituisce il vettore
[math]\vec a \times \vec b =(a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y -a_y b_x )[/math]
.
Si dimostra che il prodotto vettoriale gode delle seguenti proprietà:
- antisimmetria:
[math]\vec a \times \vec b = - \vec b \times \vec a[/math]
- proprietà distributive
[math]\vec a \times (\vec b + \vec c)= (\vec a \times \vec b) + (\vec a \times \vec c)[/math]
[math]k(\vec a \times \vec b) = (k \vec a) \times \vec b = \vec a \times (k \vec b)[/math]
- è ortogonale ai due vettori in input:
[math]\vec a \cdot (\vec a + \vec b) =0[/math]
[math]\vec b \cdot (\vec a + \vec b) =0[/math]
- il prodotto vettoriale di un vettore con se stesso è nullo
[math]\vec a \times \vec a = 0 [/math]


Il prodotto vettoriale di due vettori
[math]\vec a = (a_x, a_y, a_z)[/math]
e
[math]\vec b = (b_x, b_y, b_z)[/math]
è nullo se e solo i due vettori hanno la stessa direzione, ovvero
[math]\vec a = k \vec b[/math]
con k numero scalare reale.
Dalla definizione e dalle proprietà del prodotto vettoriale, segue che il vettore
[math]\vec c = \vec a \times \vec b[/math]
è perpendicolare sia al vettore
[math]\vec a [/math]
che al vettore
[math]\vec b [/math]
.
Il verso del vettore
[math]\vec c = \vec a \times \vec b[/math]
si determina con la "regola della mano destra": quando
[math]\vec a [/math]
si porta su
[math]\vec b [/math]
in modo tale che le dita della mano destra diano piegandosi il senso della rotazione, allora il pollice indica il verso di
[math]\vec c = \vec a \times \vec b [/math]
.
La lunghezza (il modulo) di
[math]\vec a \times \vec b[/math]
ha un interessante significato geometrico; se
[math]\vec a [/math]
e
[math]\vec b [/math]
sono vettori non nulli formanti tra loro un angolo
[math]\vec \theta [/math]
tra
[math]0 [/math]
e
[math]\pi [/math]
, si ottiene che
[math]|\vec a \times \vec b| = |\vec a| |\vec b| \sin \theta[/math]

Se descriviamo un parallelogramma mediante due vettori
[math]\vec a [/math]
e
[math]\vec b [/math]
(con la regola del parallelogrammo), poiché
[math]\vec a [/math]
è la base del parallelogrammo e
[math]|\vec b| \sin \theta[/math]
è l'altezza del parallelogrammo determinato dai vettori, si ha che
[math]|\vec a \times \vec b|= |\vec a| |\vec b| \sin \theta[/math]
è uguale all'area del parallelogrammo.

Analogamente, descrivendo i lati di un triangolo mediante due vettori
[math]\vec a [/math]
e
[math]\vec b [/math]
, si ha che l'area del triangolo è data da
[math]\frac 1 2 |\vec a \times \vec b|= \frac 1 2|\vec a| |\vec b| \sin \theta[/math]

Il prodotto Vettoriale nelle equazioni della Fisica
Ci sono alcune equazioni della fisica che risultano molto comode se espresse in termini di prodotti vettoriali.
Il momento di una forza
[math]\vec F[/math]
applicata in un punto a distanza
[math]\vec r[/math]
rispetto a un polo è dato da
[math]\vec \tau = \vec r \times \vec F[/math]
che significa
[math]\begin{cases}
\tau_x = y F_z - z F_y \\ \tau_y = z F_x - x F_z \\ \tau_z = x F_y - y F_z
\end{cases} [/math]

Il momento angolare di una particella con quantità di moto
[math]\vec p [/math]
che si trova a distanza
[math]\vec r [/math]
dall'origine è
[math]\vec L = \vec r \times \vec p[/math]

La forza che agisce su una particella con carica
[math]q[/math]
e velocità
[math]\vec v[/math]
, in una regione dello spazio caratterizzata dal campo elettrico
[math]\vec E[/math]
e campo magnetico
[math]\vec B[/math]
è:
[math]\vec F = q(\vec E + \vec v \times \vec B)[/math]
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