Il prodotto Vettoriale
Il prodotto vettoriale è un'operazione binaria tra due vettori nello spazio euclideo tridimensionale, che restituisce un vettore perpendicolare ai due vettori in input.Siano
[math]\vec a = (a_x, a_y, a_z)[/math]
[math]\vec b = (b_x, b_y, b_z)[/math]
L'operazione di prodotto vettoriale si indica con
[math]\vec a \times \vec b[/math]
Il prodotto vettoriale
[math]\vec a \times \vec b[/math]
[math]\vec a \times \vec b =(a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y -a_y b_x )[/math]
Si dimostra che il prodotto vettoriale gode delle seguenti proprietà:
- antisimmetria:
[math]\vec a \times \vec b = - \vec b \times \vec a[/math]
[math]\vec a \times (\vec b + \vec c)= (\vec a \times \vec b) + (\vec a \times \vec c)[/math]
[math]k(\vec a \times \vec b) = (k \vec a) \times \vec b = \vec a \times (k \vec b)[/math]
[math]\vec a \cdot (\vec a + \vec b) =0[/math]
[math]\vec b \cdot (\vec a + \vec b) =0[/math]
[math]\vec a \times \vec a = 0 [/math]
Il prodotto vettoriale di due vettori
[math]\vec a = (a_x, a_y, a_z)[/math]
[math]\vec b = (b_x, b_y, b_z)[/math]
[math]\vec a = k \vec b[/math]
Dalla definizione e dalle proprietà del prodotto vettoriale, segue che il vettore
[math]\vec c = \vec a \times \vec b[/math]
[math]\vec a [/math]
[math]\vec b [/math]
Il verso del vettore
[math]\vec c = \vec a \times \vec b[/math]
[math]\vec a [/math]
[math]\vec b [/math]
[math]\vec c = \vec a \times \vec b [/math]
La lunghezza (il modulo) di
[math]\vec a \times \vec b[/math]
[math]\vec a [/math]
[math]\vec b [/math]
[math]\vec \theta [/math]
[math]0 [/math]
[math]\pi [/math]
[math]|\vec a \times \vec b| = |\vec a| |\vec b| \sin \theta[/math]
Se descriviamo un parallelogramma mediante due vettori
[math]\vec a [/math]
[math]\vec b [/math]
[math]\vec a [/math]
[math]|\vec b| \sin \theta[/math]
[math]|\vec a \times \vec b|= |\vec a| |\vec b| \sin \theta[/math]
Analogamente, descrivendo i lati di un triangolo mediante due vettori
[math]\vec a [/math]
[math]\vec b [/math]
[math]\frac 1 2 |\vec a \times \vec b|= \frac 1 2|\vec a| |\vec b| \sin \theta[/math]
Il prodotto Vettoriale nelle equazioni della Fisica
Ci sono alcune equazioni della fisica che risultano molto comode se espresse in termini di prodotti vettoriali.Il momento di una forza
[math]\vec F[/math]
[math]\vec r[/math]
[math]\vec \tau = \vec r \times \vec F[/math]
[math]\begin{cases}
\tau_x = y F_z - z F_y \\ \tau_y = z F_x - x F_z \\ \tau_z = x F_y - y F_z
\end{cases} [/math]
\tau_x = y F_z - z F_y \\ \tau_y = z F_x - x F_z \\ \tau_z = x F_y - y F_z
\end{cases} [/math]
Il momento angolare di una particella con quantità di moto
[math]\vec p [/math]
[math]\vec r [/math]
[math]\vec L = \vec r \times \vec p[/math]
La forza che agisce su una particella con carica
[math]q[/math]
[math]\vec v[/math]
[math]\vec E[/math]
[math]\vec B[/math]
[math]\vec F = q(\vec E + \vec v \times \vec B)[/math]
