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I Vettori in Fisica

Si possono classificare le proprietà di una grandezza fisica nella seguente maniera:

- grandezze fisiche scalari, ovvero grandezze completamente descritte da un numero, e prive di direzione;
- grandezze fisiche vettoriali, ovvero grandezze che hanno una direzione.

Esempi di grandezze scalari sono la massa, la temperatura, la carica elettrica.

Esempi di grandezze vettoriali sono la posizione (per descrivere dove un corpo si è mosso bisogna specificare la direzione e il verso, non solo la distanza percorsa), velocità (per descrivere un moto bisogna sapere in che direzione si muove un corpo, non solo quanto è rapido), l'accelerazione, la forza, la quantità di moto, il campo elettrico e il campo magnetico;

Si chiamano quindi vettori tutte le grandezze fisiche che hanno una direzione (come uno spostamento nello spazio).

Un vettore consiste in una terna di numeri:
per rappresentare uno spostamento nello spazio, dall'origine del sistema di coordinate ad un punto P di coordinate (x,y,z),
servono tre numeri (la coordinata x, y e z).

Si usa indicare il vettore spostamento con

[math]\vec r[/math]
;
il simbolo
[math]\vec r[/math]
non rappresenta un solo numero, bensì rappresenta tre numeri: le coordinate x, y, z.
I tre numeri che rappresentano lo spostamento dall'origine (in un dato sistema di coordinate) sono chiamate componenti del vettore nelle direzioni degli assi (del sistema di coordinate).
Notazionalmente, si indica
[math]\vec r = (x, y, z)[/math]

Spesso conviene rappresentare graficamente una grandezza vettoriale mediante una freccia, la cui direzione indica la direzione del vettore,
e la cui lunghezza (o modulo) rappresenta l'intensità del vettore.

Algebra dei vettori

Uguaglianza di vettori:
due vettori
[math]\vec a = (a_x, a_y, a_z)[/math]
e
[math]\vec b = (b_x, b_y, b_z)[/math]
sono uguali se e solo se le loro componenti sono uguali:
[math]\vec a = \vec b[/math]
significa
[math]\begin{cases}
a_x = b_x \\
a_y = b_y \\
a_z = b_z
\end{cases}[/math]

Geometricamente, due vettori uguali sono due frecce con stessa lunghezza, direzione e verso.

Somma di vettori:
siano

[math]\vec a = (a_x, a_y, a_z)[/math]
e
[math]\vec b = (b_x, b_y, b_z)[/math]
due vettori;
si definisce la somma dei vettori
[math]\vec a[/math]
e
[math]\vec b[/math]
come
[math] \vec a + \vec b = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z)[/math]

La somma di due vettori restituisce un vettore:
[math] \vec c = \vec a + \vec b [/math]
;
ogni componente del vettore
[math]\vec c[/math]
è la somma delle componenti dei vettori
[math]\vec a[/math]
e
[math]\vec b[/math]
lungo il particolare asse.

La somma di vettori gode della proprietà commutativa:

[math]\vec a + \vec b = \vec b + \vec a[/math]

La somma di vettori gode della proprietà associativa:

[math](\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c)[/math]

Il significato geometrico della somma di due vettori si ottiene con la famosa regola del parallelogramma:
collocando la "coda" della freccia

[math]\vec b [/math]
sulla "punta" della freccia
[math] \vec a [/math]
, il vettore
[math] \vec c = \vec a + \vec b [/math]
è la freccia che va dalla coda di
[math]\vec b [/math]
alla punta di
[math]\vec a [/math]
(o viceversa, grazie alla proprietà commutativa).

Moltiplicazione di un vettore per un numero scalare:

sia
[math]\vec a = (a_x, a_y, a_z)[/math]
un vettore e
[math]\alpha[/math]
un numero scalare reale;
si definisce la moltiplicazione del vettore
[math]\vec a[/math]
per lo scalare
[math]\alpha[/math]
come:
[math] \alpha \vec a = (\alpha a_x, \alpha a_y, \alpha a_z)[/math]

La moltiplicazione di un vettore per uno scalare restituisce un vettore:
[math] \vec g = \alpha \vec a[/math]

ogni componente del vettore
[math]\vec g[/math]
è il prodotto delle componenti dei vettori
[math]\vec a[/math]
per il numero scalare
[math]\alpha[/math]
.

La moltiplicazione per scalare gode della proprietà associativa:

[math]\alpha \beta( \vec a) = (\alpha \beta) \vec a[/math]

La moltiplicazione per scalare gode delle proprietà distributive:

[math]\alpha (\vec a + \vec b) = \alpha \vec a + \alpha \vec b[/math]

[math](\alpha + \beta) \vec a = \alpha \vec a + \beta \vec a[/math]

Geometricamente, il vettore

[math] \vec g = \alpha \vec a[/math]
è la freccia con stessa direzione di
[math]\vec a[/math]
, ma lunga
[math] \alpha[/math]

volte
[math] \vec a[/math]
.

Sottrazione di vettori:

siano
[math]\vec a = (a_x, a_y, a_z)[/math]
e
[math]\vec b = (b_x, b_y, b_z)[/math]
due vettori;
si definisce la sottrazione dei vettori
[math]\vec a[/math]
e
[math]\vec b[/math]
come
[math] \vec a - \vec b = (a_x - b_x, a_y - b_y, a_z - b_z)[/math]

La somma di due vettori restituisce un vettore:
[math] \vec d = \vec a - \vec b [/math]
;
ogni componente del vettore
[math]\vec d[/math]
è la differenza delle componenti dei vettori
[math]\vec a[/math]
e
[math]\vec b[/math]
lungo il particolare asse.

Si può anche definire la sottrazione di vettori introducendo l'opposto di un vettore:

[math] -\vec b = -1 \vec b [/math]

la sottrazione
[math] \vec a - \vec b [/math]
è interpretabile come la somma
dei vettori
[math] \vec a [/math]
e
[math] - \vec b[/math]
.

Geometricamente, il vettore

[math] \vec d = \vec a - \vec b [/math]
è la freccia che parte dalla punta di
[math]b[/math]
e arriva alla punta di
[math]a[/math]
;
il vettore
[math] - \vec d = \vec b - \vec a [/math]
è la freccia che parte dalla punta di
[math]\vec a[/math]
e arriva alla punta di
[math]\vec b[/math]
.

Modulo di un vettore:
Se un determinato spostamento è rappresentato dal vettore

[math] \vec r = (x, y , z)[/math]

la lunghezza della distanza percorsa
[math] r \eq | \vec r|[/math]
sarà in virtù del teorema di Pitagora:
[math] r = \sqrt{x^2 + y^2 +z^2}[/math]

Notiamo che la distanza percorsa non varia se ruotiamo il sistema di assi cartesiane (invece le componenti del vettore variano ruotando gli assi), inoltre la lunghezza della distanza percorsa è un numero senza direzione, ovvero è uno scalare.

Da un vettore è quindi possibile ottenere uno scalare, sommando i quadrati delle componenti.
Sia

[math]\vec a = (a_x, a_y, a_z)[/math]
un vettore; si definisce il modulo al quadrato di
[math] \vec a [/math]
come
[math] |a|^2 = \vec a \cdot \vec a = a_x ^2 + a_y^2 +a_z^2[/math]

Geometricamente, il modulo al quadrato di

[math] \vec a [/math]
è la lunghezza al quadrato della freccia
[math]\vec a [/math]
.

Si definisce modulo o norma del vettore

[math]\vec a [/math]
la radice quadrata della somma delle componenti (ovvero la radice quadrata del modulo al quadrato):
[math] a = |\vec a| = \sqrt{\vec a \cdot \vec a} [/math]

Prodotto scalare di vettori:
Siano

[math]\vec a = (a_x, a_y, a_z)[/math]
e
[math]\vec b = (b_x, b_y, b_z)[/math]
due vettori;
si definisce il prodotto scalare tra
[math] \vec a [/math]
e
[math] \vec b [/math]
:
[math]\vec a \cdot \vec b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z[/math]

il prodotto scalare tra due vettori è uno scalare (una grandezza rappresentata da un numero reale, che non dipende dall'orientamento degli assi cartesiani).

Il prodotto scalare tra vettori gode della proprietà commutativa:

[math]\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a[/math]

Il prodotto scalare tra vettori gode della proprietà distributiva:

[math]\vec a \cdot (\vec b + \vec c) = \vec a \cdot \vec b + \vec a \cdot \vec c[/math]

Esiste una semplice regola per calcolare il prodotto scalare

[math]\vec a \cdot \vec b [/math]
senza passare per il calcolo delle componenti:
[math]\vec a \cdot \vec b = a b \cos \theta[/math]

dove a e b sono rispettivamente il modulo di a e di b, e
[math]\theta[/math]
è l'angolo compreso tra i vettori
[math] \vec a [/math]
e
[math] \vec b [/math]
.

Il modulo di un vettore è la radice quadrata del prodotto scalare del vettore per se stesso. Il modulo di un vettore è sempre non negativo:

[math]\vec a \cdot \vec a >=0[/math]

dove il segno uguale vale solo se
[math]\vec a = 0[/math]

Le Leggi della Fisica in notazione Vettoriale

Molte leggi di natura diventano particolarmente semplici se scritte in notazione vettoriale.
In un'equazione che descrive una legge di natura, i membri a destra e a sinistra del segno di uguale devono appartenere alla stessa classe, ovvero
scalare = scalare
vettore = vettore

Un importante esempio è la seconda legge della dinamica:

[math]\vec F = m \vec a[/math]

Analizziamo in dettaglio questa equazione: il vettore forza è uguale alla moltiplicazione dello scalare massa per il vettore accelerazione (ricordiamo che la moltiplicazione tra uno scalare e un vettore, è un vettore):
- il modulo del vettore forza è uguale al modulo dell'accelerazione per la velocità;
- la direzione del vettore forza è uguale alla direzione del vettore accelerazione;
- essendo la massa positiva, il verso del vettore forza è lo stesso del vettore accelerazione.

Essendo

[math]\vec F = m \vec a[/math]
un'equazione vettoriale, essa deve valere per ciascuna componente dei vettori:

[math]\begin{cases}
F_x = m a_x \\ F_y = m a_y \\ F_z = m a_z
\end{cases} [/math]

ovvero,
la componente x della forza è uguale alla massa per la componente x dell'accelerazione,
la componente y della forza è uguale alla massa per la componente y dell'accelerazione,
la componente z della forza è uguale alla massa per la componente z dell'accelerazione.

Ci si può chiedere "come bisogna scegliere l'orientamento degli assi cartesiani affinché valga la seconda legge della dinamica?".
La risposta è "in qualsiasi modo", ovvero in qualunque modo si orientano gli assi cartesiani, la componente della forza lungo qualsiasi asse cartesiano è uguale alla massa moltiplicata alla componente dell'accelerazione lungo quell'asse.

Questa è la vera potenza dei vettori in fisica!
Scrivere

[math]\vec F = m \vec a[/math]
è molto più comodo che scrivere le tre equazioni per ogni componente.

Un altro esempio importante di applicazione dell'algebra vettoriale in fisica riguarda la conservazione della quantità di moto: supponiamo di avere due corpi, di quantità di moto iniziale rispettivamente

[math]\vec p_i[/math]
e
[math]\vec q_i[/math]
, che urtano; siano
[math]\vec p_f[/math]
e
[math]\vec q_f[/math]
le rispettive quantità di moto dopo l'urto.

La legge di conservazione della quantità di moto afferma che:

[math]\vec p_i + \vec q_i = \vec p_f + \vec q_f[/math]

questa equazione vettoriale corrisponde alle tre equazioni lungo ogni componente dei vettori:
[math]\begin{cases}
{p_i}_x + {q_i}_x = {p_f}_x + {q_f}_x \\ {p_i}_y + {q_i}_y = {p_f}_y + {q_f}_y \\ {p_i}_z + {q_i}_z = {p_f}_z + {q_f}_z
\end{cases} [/math]


Il prodotto scalare tra vettori è estremamente utile in fisica.
L'energia cinetica di un punto di massa

[math]m[/math]
che si muove con velocità
[math]\vec v[/math]
è
[math] E_k = \frac 1 2 m (\vec v \cdot \vec v) = \frac 1 2 m (v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)[/math]

L'energia cinetica è una grandezza scalare, non ha direzione ed è la stessa qualsiasi sia l'orientamento degli assi cartesiani.

Un altro esempio di prodotto scalare in meccanica è il lavoro compiuto da una forza

[math]\vec F[/math]
quando un oggetto viene spostato da un punto all'altro lungo
[math]\vec s[/math]
:
[math]L = \vec F \cdot \vec s[/math]

osserviamo quindi come il lavoro sia positivo se la forza e lo spostamento sono nella stessa direzione, negativo se la forza e lo spostamento sono in direzioni opposte, nullo se la forza e lo spostamento sono perpendicolari.

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