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Flusso di campo elettrico e teorema di Gauss

Si definisce Flusso di campo elettrico il prodotto scalare tra il vettore campo elettrico e il vettore superficie.
ϕ=E ⃗×S ⃗=E∙S∙cosα
Il flusso di campo elettrico è direttamente proporzionale al modulo del vettore campo elettrico, al modulo del vettore superficie, e al coseno dell’angolo tra essi formato.
L’unità di misura del flusso di campo elettrico è N/C∙m^2.
Il vettore superficie possiede tre proprietà fondamentali:
- la sua lunghezza è proporzionale all’area della superficie;
- Ha sempre direzione perpendicolare alla superficie;
- Ha sempre verso uscente dalla superficie.

Alcune considerazioni:
Se i due vettori sono paralleli, il flusso è massimo (cos0 = 1); se i due vettori sono paralleli, il flusso è nullo (cos90 = 0).

Teorema di Gauss

Il flusso ϕ_E di campo elettrico attraverso una superficie chiusa è direttamente proporzionale alla somma algebrica delle cariche racchiuse in essa.
Il teorema di Gauss si dimostra per qualsiasi superficie chiusa e per dimostrarlo andiamo a considerare il flusso di campo elettrico generato da una carica puntiforme positiva posta al centro di una sfera di raggio r, attraverso la superficie della sfera stessa.
Scegliamo una sfera perché il campo elettrico generato dalla carica posta al centro ha la stessa intensità su tutti i punti della superficie sferica. Inoltre è diretto radialmente ed è quindi, in ogni punto, perpendicolare alla superficie.
Per comodità suddividiamo la superficie della sfera in parti ∆s abbastanza piccole da poterle considerare piane.

ϕ_E=E∙S∙cosα
Essendo il vettore superficie e il vettore campo elettrico paralleli su ogni superficie ∆s , il flusso di campo elettrico attraverso l’intera superficie sferica può essere espresso come la somma dei flussi attraverso ciascuna superficie:
ϕ_ETOT=ϕ_1+ϕ_2+ϕ_3+ ...+ϕ_n==E_1∙∆S_1∙cos0+E_2∙∆S_2∙cos0+E_3∙∆S_3∙cos0+ ...+E_n∙∆S_n∙cos0==E_1∙∆S_1+E_2∙∆S_2+E_3∙∆S_3+ ...+E_n∙∆S_n==E∙∆S_1+E∙∆S_2+E∙∆S_3+ ...+E∙∆S_n=E∙(∆S_1+∆S_2+∆S_3+ ...+∆S_n )==E∙Sup_sfera=E∙4π∙r^2=1/(4πƐ_0 )∙Q/r∙4π∙r^2=Q/Ɛ_0
ϕ_E=Q/Ɛ_0
Il flusso di campo elettrico non dipende dal raggio della sfera, ma solamente dalla carica racchiusa all’interno della sfera e dal mezzo; qualunque sia il raggio della sfera, il risultato sarebbe sempre lo stesso.

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