Genius 12440 punti

CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE

Momento angolare:

Definiamo momento angolare il vettore:

[math]\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}[/math]

Dove

[math] \vec{p} [/math]
è il vettore quantità di moto; pertanto possiamo scrivere il momento angolare come:

[math]\vec{L}=\vec{r}\times m \vec{v}[/math]

In generale in un moto curvilineo generico il vettore momento angolare è una funzione del tempo. Ciò significa che la sua variazione può dipendere da una variazione del raggio oppure da una variazione della velocità, oppure da una variazione della massa. Al momento non tratteremo quest'ultima ipotesi per semplicità. Sappiamo inoltre che il prodotto vettoriale è definito genericamente come segue:

[math] \vec{w}=\vec{u}\times \vec{v}[/math]

e il suo modulo:

[math]w=u\cdot v \cdot sin \vartheta [/math]

ove

[math]\sin\vartheta[/math]
altro non è che l'angolo formato fra
[math]\vec{u}[/math]
e
[math]\vec{v}[/math]
.

Se noi andiamo ad analizzare quanto sopra descritto osserviamo che possiamo scrivere il modulo come:

[math]||\vec{w}||=||\vec{u}||\cdot\left(||\vec{v}||\cdot\sin\vartheta\right)[/math]

Mettendo solo le parentesi si evidenzia come l'argomento non sia altro che la componente della velocità perpendicolare al raggio. Ma allora da questo possiamo direttamente decomporre il vettore velocità secondo le compenenti lungo
[math]\vec{r}[/math]
e
[math]\vec{r}^{\bot}[/math]
. Questo ci permette di scrivere il momento angolare come:

[math]\vec{L}=\vec{r}\times m\left(\vec{v_{\vartheta}}+\vec{v_{r}}\right)[/math]

Sfruttando la proprietà distributiva del prodotto vettoriale otteniamo:

[math]\vec{L}=\vec{r}\times m \vec{v_{\vartheta}}+\vec{r}\times m\vec{v_{r}}[/math]

ma vediamo subito che il secondo addendo è nullo, visto che per definizione, pertanto possiamo dire che:

[math]\vec{L}=\vec{r}\times m\vec{v_{\vartheta}}[/math]

che in modulo vale:

[math]L=mrv_{\vartheta}=mr^{2}\frac{d\vartheta}{dt}[/math]

È interessante vedere il caso particolare in cui il moto sia circolare. In tal caso notiamo subito che il rapporto

[math]\frac{d\vartheta}{dt}[/math]
non è altro che la velocità angolare, pertanto
[math]L=mr^{2}\omega[/math]
, prendendo come polo il centro della circonferenza descritta dal corpo.

Momento delle forze:

Definiamo ora la quantità vettoriale:

[math]\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}[/math]

dove

[math]F[/math]
indica la sommatoria delle forze agenti. Ovviamente questo vale se le forze sono applicate allo stesso punto.

Conservazione del momento angolare:

Proviamo ora a considerare la variazione del momento angolare nel corso del tempo. In termini matematici avremo:

[math]\frac{d\vec{L}}{dt}=\frac{d\vec{r}}{dt}\times m\vec{v}+\vec{r}\times m\frac{d\vec{v}}{dt}[/math]

Vediamo subito come il primo termine sia nullo in quanto

[math]\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{v}[/math]
e il secondo sia la forza
[math]F=ma[/math]
. Questo ci mostra in modo chiaro che:

[math]\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{M}[/math]

e questa è l'equazione che rappresenta il teorema della conservazione del momento angolare. Come possiamo notare se la forza (risultante delle forze) è nulla allora

[math]\vec{M}=0[/math]
e questo implica che
[math]\frac{d\vec{L}}{dt}=0\:\Rightarrow\vec{L}=costante[/math]
. Verifichiamo inoltre che esiste un altro caso in cui il momento angolare sia costante nel tempo, ossia quando la forza applicata è parallela al raggio, in quanto
[math]M=r\cdot F\cdot\sin\vartheta[/math]
ed essendo
[math]\vartheta=0+k\pi[/math]
abbiamo che
[math]M=0[/math]
.

Tirando una prima conclusione avremo che:

il momento angolare di un corpo (considerato come punto materiale) rimane costante se il momento delle forze è nullo.

Registrati via email