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LAVORO DI FORZE COSTANTI E VARIABILI

Lavoro di forze costanti

Il lavoro

[math]L[/math]
compiuto da una forza costante, applicata a un corpo, durante uno spostamento, è pari al prodotto scalare tra il vettore forza
[math]\textbf{F}[/math]
e il vettore spostamento
[math]\textbf{d}[/math]
.

[math]L = F d \cos(\phi) = \textbf{F} \cdot \textbf{d}[/math]

Per definizione, il lavoro di una forza

[math]\textbf{F}[/math]
è determinato dalla sola componente
[math]F \cos(\phi)[/math]
diretta secondo lo spostamento, mentre la componente perpendicolare a quest'ultimo compie un lavoro nullo.
  • Se l'angolo
    [math]\phi[/math]
    sotteso tra i vettori forza e spostamento misura meno di 90° (0≤ϕ<π⁄2), il lavoro ha segno positivo e la forza
    [math]\textbf{F}[/math]
    trasferisce energia al corpo al quale è applicata (forza motrice).

  • Se l'angolo
    [math]\phi[/math]
    sotteso tra i vettori forza e spostamento misura più di 90° (π⁄2<ϕ≤π), il lavoro ha segno negativo e la forza
    [math]\textbf{F}[/math]
    sottrae energia al corpo al quale è applicata (forza resistente).

  • Se l'angolo
    [math]\phi[/math]
    sotteso tra i vettori forza e spostamento misura esattamente 90° (ϕ=π⁄2), la forza
    [math]\textbf{F}[/math]
    non compie lavoro (forza a lavoro nullo).

Lavoro di forze variabili

Il lavoro svolto da una forza

[math]\textbf{F}[/math]
applicata a un corpo, la cui intensità varia durante uno spostamento
[math]\textbf{d}[/math]
, non può essere ricavato dal prodotto scalare (costante)
[math]\textbf{F} \cdot \textbf{d}[/math]
.
In questo caso, infatti, l'intensità della forza
[math]\textbf{F}[/math]
applicata al corpo varia continuamente nell'intervallo definito dagli estremi dello spostamento
[math]\textbf{d}[/math]
, come è illustrato dalla funzione
[math]F(x)[/math]
della forza rispetto alla posizione.

Immaginando di suddividere lo spostamento

[math]\textbf{d}[/math]
in intervalli di ampiezza uniforme
[math]Δx[/math]
e ritenendo la forza
[math]\textbf{F}[/math]
costante in questi ultimi, il lavoro può essere calcolato attraverso la somma di ogni minima variazione
[math]ΔL[/math]
del prodotto
[math]F_iΔx[/math]
, considerata l'intensità della forza nell'intervallo i-esimo
[math]Δx[/math]
.
  • Per uno spostamento unidimensionale
    [math]Δx = x – x_0[/math]
    :
  • [math]\text{se } ΔL_i = F_iΔx \text{ allora }\\ L = \lim_{Δx \to 0} \sum_{i} ΔL_i = \lim_{Δx \to 0} \sum_{i} [F(i) Δx] = \int_{x_0}^{x} F(x) dx\\ \textbf{ (integrale del lavoro)}[/math]

  • Per uno spostamento tridimensionale
    [math]Δ\textbf{r} = \textbf{r} - \textbf{r}_0 = (r_x \textbf{i} + r_y \textbf{j} + r_z \textbf{k}) - (r_{0,x} \textbf{i} + r_{0,y} \textbf{j} + r_{0,z} \textbf{k})[/math]
    :

[math]L = \int_{r_0}^{r} dL = \int_{r_{0,x}}^{r_x} F_x dx + \int_{r_{0,y}}^{r_y} F_y dy + \int_{r_{0,z}}^{r_z} F_z dz\\ \text{ con } dL = \textbf{F} \cdot d \textbf{r} = F_xdx + F_ydy + F_zdz[/math]

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