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Rendite finanziarie certe
Rendita : è una successione di capitali disponibili a tempi stabiliti.

Una rendita è detta certa quando il pagamento dei suoi termini non è subordinato al verificarsi di qualsiasi evento di incerto accadimento

Termini della rendita : sono i capitali periodicamente disponibili

Scadenze : sono i tempi di successione dei capitali

Rendita costante : si ha quando tutti i termini della rendita sono uguali

Rendita periodica : si ha quando le scadenze si succedono ad intervalli costanti

Periodo della rendita : è l’intervallo di tempo costante in cui si succedono i capitali (mese, trimestre, semestre, anno, ecc.) e da cui deriva la definizione di rendita mensile, trimestrale, semestrale, annuale, ecc.

Rendita anticipata : si ha quando il primo termine è disponibile al momento iniziale di ogni periodo

Rendita posticipata : si ha quando il primo termine è disponibile alla fine di ogni periodo.

Valore attuale di una rendita : è la somma dei valori attuali dei termini della rendita

Montante di una rendita : è la somma dei montanti dei suoi termini per il tempo che va dalla scadenza di ciascuno di essi fino alla scadenza dell’ultimo.

Rendita perpetua : è una rendita avente un numero infinito di termini. Il suo valore attuale si ottiene come limite per n tendente a infinito del valore attuale della rendita dello stesso tipo avente n termini. Non è invece possibile trovare il montante avendo questo un valore infinito per definizione.
Scadenza media di una rendita : è quel tempo in cui il valore della rendita è uguale alla somma dei termini della rendita o, meglio, è il tempo t in cui i montanti fino a quel tempo sommati ai valori attuali dei restanti periodi danno un valore uguale alla somma dei termini della rendita.
La scadenza media è indipendente dal tasso ed è la media aritmetica ponderata delle scadenze date con pesi uguali ai rispettivi termini della rendita.

Anche nelle rendite è possibile utilizzare il sistema della capitalizzazione semplice o composta ma, considerando che le durate sono solitamente poliennali, il regime usato correntemente è quello della capitalizzazione composta. Sarà questo che useremo.

Rendite periodiche con capitalizzazione composta

In capitalizzazione composta il regime è scindibile e reversibile tale per cui è consentito dedurre il montante se è noto il valore attuale e viceversa.

Il montante si ottiene quindi capitalizzando il valore attuale per il tempo che intercorre fra il momento attuale e la scadenza dell’ultimo termine della rendita mentre il valore attuale si ottiene scontando il montante per il tempo che intercorre fra la scadenza dell’ultimo termine e il momento attuale.

I casi che prenderemo in considerazione sono quelli delle rendite con importo costante perché sono le più frequenti e quelle che consentono l’uso di formule semplificate.

Alla simbologia già vista per capitale C, tasso i, tempo t o n aggiungiamo ora :

a n┐ i = valore attuale di una rendita costante
s n┐ i = montante di una rendita costante

Le lettere a e s saranno scritte in stampatello o in corsivo (a, a, s s ) a seconda che si tratti di rendite anticipate o posticipate.

Valore attuale di una rendita costante

Trovare il valore attuale vuol dire ricavare la somma di tutti i termini della rendita portati al valore del tempo zero (o attuale) in relazione al tasso applicato.

Se v è il valore attuale in generale in cui v = 1 / (1 + i ), quello specifico di ogni termine sarà v1, v2 , v3, ……..vn con i rispettivi valori : 1/ (1 + i)n

Quindi il valore attuale di una rendita costante di n termini di valore C= 1 e :
a n┐ i = 1 v + 1 v2 + 1 v3+ ……+ 1 vn

Si tratta di una progressione geometrica di ragione v il cui valore è dato da un rapporto che prevede:

a) al numeratore : il 1° termine (v ) meno l’ultimo termine ( vn ) per la ragione ( v ) = v - vn ۰ v = v – vn+1

b) al denominatore : uno meno la ragione ( v ) = 1 - v

quindi : a n┐ i = ( v – vn+1_) / ( 1 – v )_____________

moltiplicando numeratore e denominatore per ( 1 + i ) sintetizzabile con r

si ricava : ( 1 – vn ) / ( r – 1 ) o anche [ 1 - 1 / (1 + i )n ] / [( 1 + i ) - 1]=

= [ 1 - 1 / (1 + i )n ] / i = (1 + i )n - 1 / i (1 + i )n che indica la formula

risolutiva del valore attuale di una rendita costante “posticipata” con tasso i che sarà mensile, trimestrale, semestrale o annuale della rendita mensile, trimestrale, semestrale o annuale (cioè il tasso da usare sarà quello corrispondente alla periodicità della rendita).

Es. Trovare il valore attuale di una rendita annuale posticipata di 2.000 € pagabili per 25 anni con tasso del 4,8%

Va = a 25┐ 0,048 = 2.000 • ( 1,048 25 - 1 ) / (0,048 • 1,048 25 )

= 2.000 ( 3,229 - 1 ) / 0,155 = 28.761

Se la rendita fosse “ anticipata “ (quindi pagata all’inizio di ogni periodo )
si avrebbero due effetti :

1) la prima rata non dovrebbe essere scontata perché corrisposta al tempo zero
2) il valore attuale delle altre rate si calcola come visto in precedenza con la sola differenza di calcolare un periodo in meno (anziché n si avrà (n – 1) )

Complessivamente :

a n ┐i (si usa il simbolo in corsivo per segnalare che le rate sono
anticipate) =

1 + a n-1 ┐i

(con 1 che indica l’entità della prima rata che non sarà scontata perché pagata subito )

(1+ i) n - 1 - 1
α n ┐i = 1 + -------------------- = α n ┐i = 1 + a n-1 ┐i
i (1+ i) n - 1

Perciò, per trovare il valore attuale di una rendita anticipata si opererà cercando il valore attuale di una rendita posticipata di durata n-1 periodi aggiungendo il valore base di una rata.

Nell’esercizio precedente, fermi tutti i valori, ma con rendita anticipata si avrebbe:

Va = a 25┐ 0,048 = 2.000 + 2.000 ( 1,048 24 - 1 ) / (0,048 • 1,048 24 )

= 2.000 + 2.000 (3,0808 –1) / 0,048 • 3,0808 = 2000 + 2,000 ( 2,0808 / 0,1478 ) = 30.156

Chiaramente, avendo cominciato prima ad effettuare i versamenti, si viene ad avere un maggior valore attuale.
La differenza sarà data dal raffronto tra il valore attuale dell’ultima rata (scontata quindi di 24 anni ) e € 2.000 che restituisco subito.

Infatti il valore attuale di € 2.000 da versare dopo 24 anni sarà:
2000 (1 + 0,048) –24 = 616 e
2.000 – 616 = 1.384
che corrisponde, salvo gli arrotondamenti, alla differenza tra 30.156 e 28.761 dell’esercizio precedente

Montante di una rendita costante

Trovare il montante vuol dire calcolare il valore di fine periodo di tutte le quote della rendita in relazione al tasso applicato.

Anche in questo caso si può fare una distinzione tra rendite versate posticipatamente o anticipatamente.

s n ┐i (montante di una rendita posticipata) sarà dato dalla somma dei montanti delle rendite versate o ricevute in ogni periodo sapendo che l’ultimo versamento non sarà capitalizzato perché versato contestualmente al momento del calcolo:

s n ┐i = (1+i) ⁿ-1 + (1+i) ⁿ-² + (1+i) ⁿ-³………(1+i) + 1 (si può anche invertire la successione dei termini)

Anche in questo caso si tratta di una progressione geometrica con la ragione = (1 + i) indicata con “r” il cui valore è dato dal rapporto :

a) al numeratore : [ 1° termine (r) ] meno [ l’ultimo per la ragione ( rn-1 • r = r n) ]
b) al denominatore : [ 1 ] meno [ la ragione (cioè r) ]

1 - (1+ i) ⁿ (1+ i) ⁿ - 1
e cioè : ---------------- che , moltiplicato per -1 , dà : --------------------- che corrisponde
1 - (1+ i) i

alla formula del montante di una rendita posticipata costante

in cui il tasso i sarà il tasso mensile, semestrale o annuale della rendita mensile, semestrale o annuale

Es. Trovare il valore attuale di una rendita annuale posticipata di 2.000 € pagabili per 25 anni con tasso del 4,8%

M = s 25┐ 0,048 = 2000 • ( 1,048 25 - 1 ) / 0,048 = 2000 • 2,229 / 0,048 = 92.875

Lo stesso valore si troverebbe se applicassimo la formula della capitalizzazione composta al valore attuale trovato nel precedente esercizio di rendita posticipata. Infatti dato il valore di € 28.761 e volendo trovare il capitale che si avrebbe dopo 25 anni di deposito ininterrotto al tasso del 4,8% si avrebbe ancora :

M = 28.761 (1 + 0,048 ) 25 = 28.761 • 1,048 25 = 92.865

Proprio a dimostrazione della reversibilità delle formule di valore attuale e montante in regime di capitalizzazione composta.

Se si dovesse trovare il montante di una rendita versata anticipatamente si avrebbe questo effetto :

1) anche l’ultima rata deve essere capitalizzata per la durata dell’ultimo periodo e quindi si avrà il calcolo di un periodo in più
2) per renderla compatibile con il procedimento di calcolo utilizzato il montante delle rate si calcola come visto in precedenza, con la sola differenza che si dovrà sottrarre l’importo di una rata non capitalizzata (perché il numero delle quote versate non cambia)

s n ┐i (si usa il simbolo corsivo per segnalare che le rate sono anticipate) = s n+1 ┐i - 1 (con 1 che indica l’entità base della rata )

(1+ i) n + 1 - 1
s n ┐i = -------------------- - 1 =
i
Perciò, per trovare il montante di una rendita anticipata si opererà cercando il montante di una rendita posticipata di durata n +1 periodi togliendo il valore base di una rata.

Es :

Calcolare il Valore Attuale e il Montante al 6% di una rendita anticipata di € 3.000 annue per 15 anni

Va = a 15┐ 0,06 = 3.000 ( 1 + a14┐ 0,06 ) = 3.000 [ 1 + (1,06 14 – 1 / 0,06 . 1,06 14 )] =

= 3.000 + 3.000 ٠( 2,260903956 - 1) / 0,06 ٠ 2,260903956 = 30.885

M = s 15┐ 0,06 = 3.000 ( s16┐ 0,06 - 1 ) = 3.000 [ (1,06 16 - 1 / 0,06 ) -3000 ] =

= 3000 • ( 2,540351 - 1 ) / 0, 06 ) - 3000 = 77.017 – 3000 = 74.017

Per quanto detto sopra circa la reversibilità tra valore attuale e montante si dovrebbe anche avere che:

dato il valore attuale di 30.885, il montante dovrebbe scaturire dalla capitalizzazione di tale importo per 15 anni:

= 30.885 ( 1 + 0,06 ) 15 = 74.017 c.v.d.

Date le formule di valore attuale e montante sia con rate anticipate che posticipate si potranno ricavare anche tasso e tempo nel caso siano delle incognite.
Allo stesso modo si potrà trovare il valore della rata costante da versare alle diverse scadenze.
Quest’ultimo caso sarà visto in occasione degli ammortamenti dei prestiti.

Rendite perpetue
In caso particolare può essere costituito da una rendita perpetua.

Si è già detto che, in questo caso, il montante non si può calcolare visto che non si conosce a quale tempo finale fare riferimento.
Il valore attuale invece viene definito uguale a R/ i ossia al rapporto tra valore della rendita periodica costante e il tasso di interesse. Ciò perché il calcolo dell’espressione V = C lim ∞ ∑ (1 - si ) ha significato solo fino al tempo s in quanto, dopo, il valore attuale diventa negativo cioè il creditore diventa debitore.

Il caso della rendita perpetua può trovare applicazione quando si utilizzerà uno dei diversi metodi da esaminare per le valutazioni dei prezzi congrui di cessione/acquisto di aziende.

Va = R / i

Un esempio può essere dato dal reddito, considerato stabile, percepito dagli azionisti di una azienda e valutato in € 200.000 annui per una durata indeterminata (quindi ipotizzata perpetua) in una condizione di mercato in cui il tasso corrente sia il 5%.

Se così fosse e se una valutazione di azienda dovesse essere effettuata con questo metodo allora si otterrebbe:

Va = 200.000 / 0,05 = € 4.000.000

Ossia una azienda che dia 200.000 € all’anno di reddito e per un numero indefinito di anni (ma comunque molto alto) può valere oggi 4.000.000 €.

In pratica si avrebbe la somma di tanti redditi uguali tutti portati a valore di oggi e quindi tutti di valore man mano decrescente in rapporto al tempo di riscossione. Se volessimo conoscere il valore attuale del reddito di 200.000 da riscuotere tra 50 anni avremo: 200.000 (1 +0,05) –50 = € 17.441 e dopo 70 anni si ridurrebbe a 200.000 (1.05) –70 = 6.573

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