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Regimi di capitalizzazione

Insieme di principi economico-finanziari e di convenzioni che regolano lo svolgimento di una operazione finanziaria semplice o complessa

Capitalizzazione : modalità per la quale una somma maturata in un certo tempo da un capitale va ad aggiungersi al capitale che l’ha generata diventando anch’essa capitale.

Principio di equivalenza finanziaria : il valore dell’insieme delle prestazioni deve uguagliare il valore dell’insieme delle controprestazioni riferite ad una stessa scadenza.

L’operazione finanziaria può prevedere una sola prestazione e relativa controprestazione (operazione semplice o elementare quale ad esempio un deposito bancario ad interesse) oppure più prestazioni e relative controprestazioni (operazione complessa o composta quale un mutuo con restituzione rateale).

Simbologia ricorrente e definizioni semplificate:

C = capitale monetario (stock di beni espresso in moneta)

I = interesse (compenso che spetta a chi impiega un capitale)
i = tasso unitario di interesse (compenso per l’unità di capitale
nell’unità di tempo e cioè nel periodo di capitalizzazione)
n = numero intero di periodi di capitalizzazione
t = tempo di impiego espresso nell’unità di tempo di capitalizzazione (tutto il tempo in cui avviene l’operazione di capitalizzazione o di attualizzazione)

Ogni capitale monetario “impiegato” (prestato o investito) può produrre interesse quale contropartita del sacrificio sopportato dal prestatore di doversi privare dell’uso del capitale per un certo periodo di tempo.

Si ammette che la produzione di interesse possa avvenire in ogni istante e con continuità.

Un capitale è finanziariamente disponibile quando può essere impiegato.

Valuta o scadenza : è il momento temporale in cui un capitale diventa disponibile.

Due capitali espressi nella stessa unità monetaria non sono confrontabili se hanno valute diverse perché rappresentano grandezze non omogenee.

Nel momento in cui l’interesse si rende disponibile diventa capitale.

Capitalizzazione : è la trasformazione dell’interesse in capitale.

Legge di capitalizzazione : è la funzione matematica idonea a calcolare il valore di un capitale nel momento della sua valuta.

Montante : è la somma del capitale impiegato e dell’interesse prodotto.

Periodo di capitalizzazione : è l’unità di tempo a cui è riferito il tasso.

Periodo di impiego : è il tempo complessivo per cui il capitale resta impiegato e può coincidere o no col periodo di capitalizzazione

Dato un capitale è sempre possibile individuarne in qualsiasi momento il valore utilizzando un determinato tasso di interesse o di sconto.

Legge di sconto : è la funzione matematica idonea a calcolare il valore del capitale in un tempo anteriore a quello della sua disponibilità.
E’ l’inverso della legge di capitalizzazione e quindi sarà tale da poter ridare, con lo stesso tasso, il valore del capitale originario.

Valore attuale : è il valore di un capitale futuro al tempo zero (tempo attuale).

Sconto : è la differenza tra capitale e valore attuale . E’ il compenso che spetta a chi anticipa un capitale

Distinzione tra regimi di capitalizzazione :
- semplice : si ha quando l’interesse prodotto dal capitale è disponibile per il prestatore solo alla fine del periodo convenuto e tale interesse non produce, a sua volta, nuovo interesse (salvo nuove contrattazioni) ;
- complesso : si ha quando l’interesse prodotto dal capitale è disponibile solo alla fine di ogni periodo convenuto e tale interesse produce, a sua volta, nuovo interesse.

REGIME DI CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE

Di norma viene utilizzato solo per periodi inferiori all’anno

La funzione dell’interesse semplice I di un capitale C al tasso i e per un tempo t è data da: I = C• i • t

Dovrà esservi una relazione tra tasso e tempo nel senso che entrambi dovranno essere espressi con lo stesso riferimento temporale (il tasso annuo corrisponderà a tempo espresso in anni e frazioni di anno; il tasso mensile, trimestrale o semestrale corrisponderà a tempo espresso in mesi, trimestri o semestri).

Montante in capitalizzazione semplice: è la somma del capitale più l’interesse

M = C + I ossia M = C + C• i • t o anche M = C ( 1 + i • t )

Valore attuale o sconto in capitalizzazione semplice : è la differenza tra capitale e interesse

Va = C - I ossia Va = C - C• i • t o anche Va = C ( 1 - i • t )

In pratica è la stessa formula del montante in cui a t (positivo) si sostituisce –t (negativo). E’ detta anche sconto commerciale per distinguerla, nella pratica finanziaria, dallo sconto razionale che più propriamente dovrebbe essere trovato con la formula inversa (ma non utilizzata in regime di capitalizzazione semplice) al montante :

Va = C 1 / (1 + i•t )

Nel linguaggio corrente si definisce “interesse” il maggior valore che si incasserà in futuro per l’impiego di un nostro capitale immediato mentre si definisce “sconto” il minor valore che si è disposti ad accettare oggi per poter disporre subito di una somma con valuta futura.

REGIME DI CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA

E’ una composizione successiva di capitalizzazioni semplici.

La funzione dell’interesse composto I di un capitale C al tasso i e per un tempo t multiplo del periodo di capitalizzazione sarà dato, dopo n periodi, da : I = (C• i ) (C• i ) (C• i ) …… = (C• i )n

Montante in capitalizzazione composta: è la somma del capitale più l’interesse

M = C + I ossia M = C + C• i = C ( 1 + i ) dopo un periodo,

M = C ( 1+ i ) ( 1+ i) dopo due periodi o anche M = C ( 1 + i )2

E, in generale, M = C • ( 1 + i ) n dopo n periodi

Dovrà esservi corrispondenza tra il tasso e il periodo di capitalizzazione ossia tra i ed n ( ad i riferito ad anno corrisponderà n espresso in anni e frazione di anno, ad i riferito a mese, trimestre o semestre corrisponderà n espresso in mesi, trimestri o semestri).

Il reciproco della formula del Montante fornisce il Valore Attuale in regime di capitalizzazione composta :

Va = C • 1 / M ossia Va = C • 1 / ( 1 + i ) n o anche

Va = C • ( 1 + i ) – n

Simboli : ( 1 + i ) – n fattore di attualizzazione

( 1 + i ) n fattore di capitalizzazione

Quando il tempo complessivo t è diverso da n ( t ≠ n ) le formule non variano perché sono scindibili:

( 1 + i ) – t e ( 1 + i ) t

quindi t può essere un tempo frazionario ( 2,5 anni o 3,25 anni) senza che nulla debba cambiare nei calcoli; tuttavia la prassi bancaria, quando il tempo t = n + τ con τ periodo tempo minore di un periodo di capitalizzazione ( cioè solitamente inferiore all’anno ), utilizza una convenzione (detta lineare) espressa dalla funzione :

( 1 + i ) n ( 1 + i τ ) ossia un insieme di capitalizzazione composta e semplice (quindi una capitalizzazione mista).

Due tassi si dicono equivalenti quando, per lo stesso capitale e per lo stesso periodo di tempo considerato danno lo stesso montante o lo stesso valore attuale.

Se i’ è il tasso relativo al periodo di capitalizzazione τ’ e i” il tasso del periodo di capitalizzazione τ “ per il capitale 1 e il periodo di tempo t deve risultare, perchè i’ e i” siano equivalenti :

( 1 + i’ ) t /τ’ = ( 1 + i” ) t / τ”

da cui si può ricavare:

i’ = ( 1 + i” ) τ’/ τ “ - 1

In pratica si avrà che un tasso trimestrale del 2% non corrisponderà ad un tasso annuale del 8% (cioè 2% moltiplicato per 4 trimestri) o viceversa come in modo semplicistico si può essere indotti a pensare. Infatti, secondo lo schema precedente si avrà che:

al tasso trimestrale del 2% corrisponde un tasso annuo di :

i = ( 1 + 0,02 ) 12/3 - 1 = 1,02 4 -1 = 0,0824 quindi 8,24%

mentre al tasso annuale del 8% corrisponde un tasso trimestrale di:

i = ( 1 + 0,08 ) 3/12 - 1 = 1,08 0,25 - 1 = 0,0194 quindi 1,94%

infatti se volessimo fare una controprova per trovare il tasso annuale corrispondente al tasso trimestrale del 1,94% si avrà :

i = ( 1+ 0,0194 ) 12/3 – 1 = 1,0194 4 - 1 = 0,0799 cioè ancora 8%

Il risultato si giustifica sapendo che in una capitalizzazione composta trimestrale gli interessi maturati trimestralmente producono a loro volta altri interessi nei periodi infraannuali.

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