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Legge generale dei gas ed equazione di stato dei gas perfetti

Partiamo dal principio che un gas che viene compresso si riscalda perché non viene termostatato, e può essere sottoposto a diverse trasformazioni successive che modificano temperatura, volume e pressione. Però si ha bisogno di una legge che sia valida nel momento in cui cambiano le tre condizioni termodinamiche nello stesso momento. Per la formula consideriamo che:


    1)A temperatura costante
    [math]p \cdot V = k[/math]
    ;
    2)A volume costante
    [math] \frac{p}{T} = k[/math]
    ;
    3)A pressione costante
    [math]\frac{V}{T} = k[/math]
    .

Dove p = pressione, T = temperatura, V = volume e k = valore costante.
Queste tre leggi possono essere unite in una legge sola:

[math]\frac{p\ \cdot\ V}{T} = k[/math]

Questa legge si chiama legge generale dei gas.
Adesso cerchiamo di conoscere il valore di questa costante.
Se facciamo riferimento alle condizioni standard di un gas, e confrontiamo le due formule, abbiamo che:

[math]\frac{p\ \cdot\ V_t}{T} = \frac{p_0 \ V_{gas \ a \ 0 \ gradi \ C}}{T_0}[/math]

Secondo le condizioni termodinamiche standard,

[math]p0 = 1,013 \times 10 ^5[/math]
Pascal e
[math]T0 = 273°K[/math]
.
Adesso sappiamo che, per il principio di Avogadro, il volume di un gas in condizioni termodinamiche standard è di 22,4 dm3. Quindi, se il gas contiene un numero di moli indicato con n, abbiamo:

[math]nV_0 = n\ \cdot\ 0,0224\ m^3[/math]

Da ciò capiamo che la legge generale dei gas diventa:

[math]\frac{pV}{T} = n\frac{p_0V_0}{T_0}[/math]

Ovviamente anche quest’ultimo rapporto è costante, si chiama costante dei gas e solitamente si indica con R. Risolviamo l’equazione:

[math]R = \frac{p_0V_0}{T_0} = \frac{1,013\ \cdot \ 10^5 Pa \ \cdot \ 0,0224 \ m^3/mol}{273K} = 8,31 \frac{Pa \ \cdot \ m^3}{Kmol}[/math]

L’unità di misura è abbastanza complicata, ma si può scrivere in modo più semplice dato che:

[math]\frac{Pa \ \cdot \ m^3}{Kmol} = \frac {N \ \cdot \ m^3}{m^2 \ \cdot \ Kmol} = \frac{N \ \cdot \ m}{Kmol} = \frac{J}{Kmol}[/math]
quindi
[math]R = 8,31 \frac{J}{Kmol}[/math]

Torniamo alle equazioni precedenti. Secondo l’ultimo procedimento la legge generale dei gas si può scrivere come:

[math]\frac{pV}{T} = nR [/math]
e quindi
[math] pV = nRT[/math]

Questa espressione è l’equazione di stato dei gas perfetti, conosciuta ugualmente come equazione di Clausius Clapeyron. Con questa equazione si possono ricavare molti parametri dei gas, tra i quali la densità.
Inoltre mediante questa equazione è stato dedotto che la densità di un gas è inversamente proporzionale alla temperatura assoluta.
Questo è il principio secondo cui le mongolfiere riescono a sollevarsi da terra.

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