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Circuiti Integratori

integratore-invertente

Lo schema sovrastante mostra un circuito integratore nella configurazione invertente. Si utilizza per le operazioni di integrazione.
Qui sotto è riportato l'andamento delle forme d'onda che escono dall'integratore.


integratore


Se dobbiamo ricavare

[math]v_o\left(t\right)[/math]
in funzione di
[math]v_i\left(t\right)[/math]
si applica il principio della massa virtuale, quindi la corrente erogata dal generatore
[math]v_i\left(t\right)[/math]
vale:

[math]i=\frac{v_i\left(t\right)}{R}[/math]

e coincide con la corrente che attraversa il condensatore.
La tensione ai capi del condensatore invece vale:

[math]v_c\left(t\right)=\frac{q\left(t\right)}{C}=\frac{1}{c}\int_{0}^{t}i_c\left(t\right) dt=\frac{1}{C}\int_{0}^{t}\frac{v_i\left(t\right)}{R} dt=\frac{1}{R \cdot C}\int_{0}^{t}v_i\left(t\right)dt[/math]

ma

[math]v_c\left(t\right)=v_n-v_0\left(t\right)=-v_0\left(t\right)[/math]

per cui otteniamo che:

[math]v_0\left(t\right)=-\frac{1}{R\cdot C} \int_{0}^{t}v_i\left(t\right)dt[/math]

adoperando la trasformata di Laplace e subito dopo l'anti-trasformata otteniamo:

[math]V_0\left(j\omega \right)=-\frac{1}{j \omega RC}\cdot V_i=j\cdot \frac{V_i}{\omega RC}[/math]

Da quest'ultima formula possiamo notare che

[math]V_0[/math]
è in anticipo di
[math]90^\circ[/math]
rispetto a
[math]V_i[/math]
e che a parità di
[math]R[/math]
e di
[math]C[/math]
, l'ampiezza della tensione di uscita aumenta al diminuire della frequenza di ingresso
[math]\omega[/math]
.

Andiamo adesso ad analizzare il circuito di un integratore nella configurazione non invertente riportato qui sotto.


integratore-non-invertente


Il circuito è composto da quattro resistenze

[math]R[/math]
uguali ed un condensatore e presenta una reazione sia negativa che positiva.
L'espressione di
[math]v_0[/math]
in funzione di
[math]v_i[/math]
si ricava con il metodo dell'equipotenzialità degli amplificatori operazionali, poi applichiamo il I° principio di Kirchhoff al morsetto non invertente e otteniamo:


[math]i=i_1+i_2=\frac{v_i-v_p}{R}+\frac{v_0-v_p}{R}=\frac{v_i+v_0-2v_p}{R}[/math]


però siccome:

[math]v_p=v_n=v_0\cdot \frac{R}{2R}=\frac{v_0}{2}[/math]

e quindi

[math]i=\frac{v_i}{R}[/math]
.


La tensione ai capi del condensatore

[math]v_p[/math]
ci da che:

[math]v_0=2\cdot v_p=\frac{2q}{C}=\frac{2}{C}\int_{0}^{t} i\left(t\right) dt=\frac{2}{RC}\int_{0}^{t} v_i\left(t\right) dt[/math]


Dopo aver applicato Laplace arriviamo allo stesso risultato e per ricavare il potenziale applichiamo Millmann al morsetto non invertente ed otteniamo:


[math]V_p=\frac{\frac{V_i}{R}+\frac{V_0}{R}}{\frac{1}{R}+s\cdot C+\frac{1}{R}}=\frac{V_i+V_0}{2+sRC}[/math]

Siccome

[math]V_p=V_n=\frac{V_0}{2}[/math]
abbiamo:

[math]V_0\cdot\left(2+sRC\right)=2\cdot\left(V_i+V_0\right)[/math]
da cui ricaviamo:

[math]V_0=\frac{2}{CR}\cdot\frac{V_i}{s}[/math]

se anti-trasformiamo ritroviamo la seguente formula:

[math]v_0=2\cdot v_p=\frac{2q}{C}=\frac{2}{C}\int_{0}^{t} i\left(t\right) dt=\frac{2}{RC}\int_{0}^{t} v_i\left(t\right) dt[/math]
.

Se si porta la seguente formula

[math]\left(V_0=\frac{2}{CR}\cdot\frac{V_i}{s}\right)[/math]
in regime sinusoidale e, si pone
[math]s=j\omega[/math]
troviamo:

[math]V_0=\frac{2\cdot V_i}{j\omega RC}[/math]


Notiamo che

[math]V_0[/math]
è in ritardo di
[math]90^\circ[/math]
rispetto a
[math]V_i[/math]
e come per la configurazione invertente il modulo aumenta al diminuire della sua frequenza.

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