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Amplificatore operazionale - Amplificatore Differenziale

Amplificatore operazionale - Amplificatore Differenziale: configurazione base e formule

E io lo dico a Skuola.net
Amplificatore Differenziale

amplificatore-differenziale

La figura sopra riportata ci mostra lo schema elettrico di un "Amplificatore Differenziale" che, fa uso di un "Amplificatore Operazionale Ideale".
Questo circuito è pilotato da due segnali
[math]v_1[/math]
e
[math]v_2[/math]
; applicati rispettivamente sui morsetto non invertente
[math]\left(v_1\right)[/math]
attraverso il partitore
[math]R_3-R_4[/math]
e su quello invertente
[math]\left(v_2\right)[/math]
attraverso la resistenza
[math]R_1[/math]
.
Come al solito la resistenza
[math]R_2[/math]
introduce la reazione negativa o "retroazione".

Il potenziale dell'ingresso non invertente
[math]v_p[/math]
si ricava utilizzando la formula del partitore di tensione:
[math]v_p=v_1\cdot\left(\frac{R_4}{R_3+R_4}\right)[/math]

Se dobbiamo trovare la tensione di uscita
[math]v_o[/math]
in funzione di
[math] v_p[/math]
e di
[math]v_2[/math]
dobbiamo applicare il principio di "sovrapposizione degli effetti"; si noti poi che
[math]v_p[/math]
è amplificato di un fattore pari a
[math]1+\frac{R_2}{R_1}[/math]
; mentre
[math]v_2[/math]
è amplificato di un fattore pari a
[math]-\frac{R_2}{R_1}[/math]
, quindi
[math]v_o=v_p\cdot\left(1+\frac{R_2}{R_1}\right)-v_2\cdot\frac{R_2}{R_1}[/math]


sostituendo a
[math]v_p[/math]
la sua formula otteniamo:
[math]v_o=v_1\cdot\left(\frac{R_4}{R_3+R_4}\right)\cdot\left(1+\frac{R_2}{R_1}\right)-v_2\cdot\frac{R_2}{R_1}[/math]


da cui si ottiene:

[math]v_o=\frac{R_4}{R_3+R_4}\cdot\frac{R_1+R_2}{R_1}\cdot v_1-\frac{R_2}{R_1}\cdot v_2=A_1\cdot v_1-A_2\cdot v_2[/math]


se
[math]A_1=A_2=A_d[/math]
si ha:
[math]v_o=A_d\cdot\left(v_1-v_2\right)[/math]
.

per far si che si verifichi la seguente condizione
[math]A_1=A_2[/math]
bisogna avere:
[math]\frac{R_2}{R_1}=\frac{R_4}{R_3}[/math]

infatti se uguagliamo
[math]A_1=A_2=A_d[/math]
si ha:
[math]\frac{R_4}{R_3+R_4}\cdot\frac{R_1+R_2}{R_1}=\frac{R_2}{R_1}[/math]

andando a sviluppare la precedente relazione si ottiene la condizione citata prima ovvero:
[math]\frac{R_2}{R_1}=\frac{R_4}{R_3}[/math]
.
Andando a sostituire il tutto alla formula per trovare
[math]v_o[/math]
otteniamo:
[math]v_o=\frac{R_2}{R_1}\cdot\left(v_1-v_2\right)=A_d\cdot\left(v_1-v_2\right)[/math]

se
[math]v_1=0[/math]
si ha:
[math]v_o=-\frac{R_2}{R_1}\cdot v_2[/math]
il guadagno è invertente pari a
[math]\frac{R_2}{R_1}\cdot v_2[/math]


se invece
[math]v_2=0[/math]
otteniamo:
[math]v_o=\frac{R_2}{R_1}\cdot v_1[/math]

il guadagno è non invertente di valore pari a:
[math]\frac{R_2}{R_1}[/math]
.

Dalla seguente formula :
[math]v_o=\frac{R_2}{R_1}\cdot\left(v_1-v_2\right)=A_d\cdot\left(v_1-v_2\right)[/math]
; si deduce inoltre che il "Rapporto di Reiezione di Modo Comune" dell'amplificatore è infinito
[math]\left(CMRR=\infty\right)[/math]
poiché la
[math]v_o[/math]
dipende solo dal segnale differenziale
[math]v_d=v_1-v_2[/math]
e non da quello di modo comune
[math]v_c=\frac{v_1+v_2}{2}[/math]


Se però
[math]\frac{R_2}{R_1}[/math]
è diverso da
[math]\frac{R_4}{R_3}[/math]
si deve applicare la seguente formula :
[math]v_o=\frac{R_4}{R_3+R_4}\cdot\frac{R_1+R_2}{R_1}\cdot v_1-\frac{R_2}{R_1}\cdot v_2=A_1\cdot v_1-A_2\cdot v_2[/math]

e il CMRR assume un valore finito.

valutiamo il CMRR se
[math]v_1[/math]
e
[math]v_2[/math]
sono di valore quasi identico.
aggiungendo e sottraendo
[math]v_1\cdot \frac{R_2}{R_1}[/math]
alla seguente formula:
[math]v_o=\frac{R_4}{R_3+R_4}\cdot\frac{R_1+R_2}{R_1}\cdot v_1-\frac{R_2}{R_1}\cdot v_2=A_1\cdot v_1-A_2\cdot v_2[/math]

otteniamo:

[math]v_o=\frac{R_2}{R_1}\cdot\left(v_1-v_2\right)+\frac{R_4R_1-R_2R_3}{R_1\left(R_3+R_4\right)}\cdot v_1=A_d\cdot v_d+A_c\cdot v_c[/math]


Poiché
[math]v_1[/math]
e
[math]v_2[/math]
sono quasi uguali,
[math]v_c[/math]
segnale di modo comune coindice con
[math]v_1[/math]
e quindi nella formula precedente
[math]\frac{R_2}{R_1}[/math]
rappresenta il guadagno differenziale
[math]A_d[/math]
, mentre il coefficiente di
[math]v_1[/math]
è il guadagno di modo comune
[math]A_c[/math]
.

Dividendo il numeratore e denominatore di
[math]A_c[/math]
per
[math]R_1R_3[/math]
otteniamo:
[math]A_c=\frac{\frac{R_4}{R_3}-\frac{R_2}{R_1}}{1+\frac{R_4}{R_3}}[/math]


il CMRR dell'amplificatore differenziale considerato vale:

[math]CMRR=\frac{A_d}{A_c}=\frac{\left(1+\frac{R_4}{R_3}\right)\frac{R_2}{R_1}}{\frac{R_4}{R_3}-\frac{R_2}{R_1}}[/math]

Possiamo osservare che se
[math]\frac{R_2}{R_1}=\frac{R_4}{R_3}[/math]
si ottiene
[math]A_c=0[/math]
e
[math]CMRR=\infty[/math]
. In realtà il CMRR dell'amplificatore resta limitato da quello intrinseco dell'amplificatore operazionale utilizzato e dalle tolleranze dei resistori che non consentono una perfetta uguaglianza tra i rapporti di esse:
[math]\frac{R_2}{R_1}[/math]
e
[math]\frac{R_4}{R_3}[/math]
.
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